Trigonometría Ejemplos

$i^{22}$

Paso 1

Reescribe $i^{22}$ como ${(i^{4})}^{5} i^{2}$ .

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Paso 1.1

Factoriza $i^{20}$ .

$i^{20} i^{2}$

Paso 1.2

Reescribe $i^{20}$ como ${(i^{4})}^{5}$ .

${(i^{4})}^{5} i^{2}$

Paso 2

Reescribe $i^{4}$ como $1$ .

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Paso 2.1

Reescribe $i^{4}$ como ${(i^{2})}^{2}$ .

${({(i^{2})}^{2})}^{5} i^{2}$

Paso 2.2

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

${({(- 1)}^{2})}^{5} i^{2}$

Paso 2.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$1^{5} i^{2}$

Paso 3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$1 i^{2}$

Paso 4

Multiplica $i^{2}$ por $1$ .

$i^{2}$

Paso 5

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$- 1$

Paso 6

Esta es la forma trigonométrica de un número complejo donde $| z |$ es el módulo y $θ$ es el ángulo creado en el plano complejo.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Paso 7

El módulo de un número complejo es la distancia desde el origen en el plano complejo.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ donde $z = a + b i$

Paso 8

Sustituye los valores reales de $a = - 1$ y $b = 0$ .

$| z | = \sqrt{0^{2} + {(- 1)}^{2}}$

Paso 9

Obtén $| z |$ .

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Paso 9.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$| z | = \sqrt{0 + {(- 1)}^{2}}$

Paso 9.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$| z | = \sqrt{0 + 1}$

Paso 9.3

Suma $0$ y $1$ .

$| z | = \sqrt{1}$

Paso 9.4

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$| z | = 1$

Paso 10

El ángulo del punto en el plano complejo es la inversa de la tangente de la parte compleja en la parte real.

$θ = \arctan (\frac{0}{- 1})$

Paso 11

Como la tangente inversa de $\frac{0}{- 1}$ produce un ángulo en el segundo cuadrante, el valor del ángulo es $π$ .

$θ = π$

Paso 12

Sustituye los valores de $θ = π$ y $| z | = 1$ .

$\cos (π) + i \sin (π)$