Trigonometría Ejemplos

${(- 1 + i)}^{5}$

Paso 1

Usa el teorema del binomio.

${(- 1)}^{5} + 5 {(- 1)}^{4} i + 10 {(- 1)}^{3} i^{2} + 10 {(- 1)}^{2} i^{3} + 5 \cdot - 1 i^{4} + i^{5}$

Paso 2

Simplifica los términos.

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $5$ .

$- 1 + 5 {(- 1)}^{4} i + 10 {(- 1)}^{3} i^{2} + 10 {(- 1)}^{2} i^{3} + 5 \cdot - 1 i^{4} + i^{5}$

Paso 2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$- 1 + 5 \cdot 1 i + 10 {(- 1)}^{3} i^{2} + 10 {(- 1)}^{2} i^{3} + 5 \cdot - 1 i^{4} + i^{5}$

Paso 2.1.3

Multiplica $5$ por $1$ .

$- 1 + 5 i + 10 {(- 1)}^{3} i^{2} + 10 {(- 1)}^{2} i^{3} + 5 \cdot - 1 i^{4} + i^{5}$

Paso 2.1.4

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$- 1 + 5 i + 10 \cdot - 1 i^{2} + 10 {(- 1)}^{2} i^{3} + 5 \cdot - 1 i^{4} + i^{5}$

Paso 2.1.5

Multiplica $10$ por $- 1$ .

$- 1 + 5 i - 10 i^{2} + 10 {(- 1)}^{2} i^{3} + 5 \cdot - 1 i^{4} + i^{5}$

Paso 2.1.6

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$- 1 + 5 i - 10 \cdot - 1 + 10 {(- 1)}^{2} i^{3} + 5 \cdot - 1 i^{4} + i^{5}$

Paso 2.1.7

Multiplica $- 10$ por $- 1$ .

$- 1 + 5 i + 10 + 10 {(- 1)}^{2} i^{3} + 5 \cdot - 1 i^{4} + i^{5}$

Paso 2.1.8

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$- 1 + 5 i + 10 + 10 \cdot 1 i^{3} + 5 \cdot - 1 i^{4} + i^{5}$

Paso 2.1.9

Multiplica $10$ por $1$ .

$- 1 + 5 i + 10 + 10 i^{3} + 5 \cdot - 1 i^{4} + i^{5}$

Paso 2.1.10

Factoriza $i^{2}$ .

$- 1 + 5 i + 10 + 10 (i^{2} \cdot i) + 5 \cdot - 1 i^{4} + i^{5}$

Paso 2.1.11

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$- 1 + 5 i + 10 + 10 (- 1 \cdot i) + 5 \cdot - 1 i^{4} + i^{5}$

Paso 2.1.12

Reescribe $- 1 i$ como $- i$ .

$- 1 + 5 i + 10 + 10 (- i) + 5 \cdot - 1 i^{4} + i^{5}$

Paso 2.1.13

Multiplica $- 1$ por $10$ .

$- 1 + 5 i + 10 - 10 i + 5 \cdot - 1 i^{4} + i^{5}$

Paso 2.1.14

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$- 1 + 5 i + 10 - 10 i - 5 i^{4} + i^{5}$

Paso 2.1.15

Reescribe $i^{4}$ como $1$ .

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Paso 2.1.15.1

Reescribe $i^{4}$ como ${(i^{2})}^{2}$ .

$- 1 + 5 i + 10 - 10 i - 5 {(i^{2})}^{2} + i^{5}$

Paso 2.1.15.2

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$- 1 + 5 i + 10 - 10 i - 5 {(- 1)}^{2} + i^{5}$

Paso 2.1.15.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$- 1 + 5 i + 10 - 10 i - 5 \cdot 1 + i^{5}$

Paso 2.1.16

Multiplica $- 5$ por $1$ .

$- 1 + 5 i + 10 - 10 i - 5 + i^{5}$

Paso 2.1.17

Factoriza $i^{4}$ .

$- 1 + 5 i + 10 - 10 i - 5 + i^{4} i$

Paso 2.1.18

Reescribe $i^{4}$ como $1$ .

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Paso 2.1.18.1

Reescribe $i^{4}$ como ${(i^{2})}^{2}$ .

$- 1 + 5 i + 10 - 10 i - 5 + {(i^{2})}^{2} i$

Paso 2.1.18.2

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$- 1 + 5 i + 10 - 10 i - 5 + {(- 1)}^{2} i$

Paso 2.1.18.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$- 1 + 5 i + 10 - 10 i - 5 + 1 i$

Paso 2.1.19

Multiplica $i$ por $1$ .

$- 1 + 5 i + 10 - 10 i - 5 + i$

Paso 2.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 2.2.1

Suma $- 1$ y $10$ .

$9 + 5 i - 10 i - 5 + i$

Paso 2.2.2

Resta $5$ de $9$ .

$4 + 5 i - 10 i + i$

Paso 2.2.3

Resta $10 i$ de $5 i$ .

$4 - 5 i + i$

Paso 2.2.4

Suma $- 5 i$ y $i$ .

$4 - 4 i$

Paso 3

Esta es la forma trigonométrica de un número complejo donde $| z |$ es el módulo y $θ$ es el ángulo creado en el plano complejo.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Paso 4

El módulo de un número complejo es la distancia desde el origen en el plano complejo.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ donde $z = a + b i$

Paso 5

Sustituye los valores reales de $a = 4$ y $b = - 4$ .

$| z | = \sqrt{{(- 4)}^{2} + 4^{2}}$

Paso 6

Obtén $| z |$ .

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Paso 6.1

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$| z | = \sqrt{16 + 4^{2}}$

Paso 6.2

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$| z | = \sqrt{16 + 16}$

Paso 6.3

Suma $16$ y $16$ .

$| z | = \sqrt{32}$

Paso 6.4

Reescribe $32$ como $4^{2} \cdot 2$ .

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Paso 6.4.1

Factoriza $16$ de $32$ .

$| z | = \sqrt{16 (2)}$

Paso 6.4.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$| z | = \sqrt{4^{2} \cdot 2}$

Paso 6.5

Retira los términos de abajo del radical.

$| z | = 4 \sqrt{2}$

Paso 7

El ángulo del punto en el plano complejo es la inversa de la tangente de la parte compleja en la parte real.

$θ = \arctan (\frac{- 4}{4})$

Paso 8

Como la tangente inversa de $\frac{- 4}{4}$ produce un ángulo en el cuarto cuadrante, el valor del ángulo es $- \frac{π}{4}$ .

$θ = - \frac{π}{4}$

Paso 9

Sustituye los valores de $θ = - \frac{π}{4}$ y $| z | = 4 \sqrt{2}$ .

$4 \sqrt{2} (\cos (- \frac{π}{4}) + i \sin (- \frac{π}{4}))$