Trigonometría Ejemplos

${(1 + i)}^{3}$

Paso 1

Usa el teorema del binomio.

$1^{3} + 3 \cdot 1^{2} i + 3 \cdot 1 i^{2} + i^{3}$

Paso 2

Simplifica los términos.

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$1 + 3 \cdot 1^{2} i + 3 \cdot 1 i^{2} + i^{3}$

Paso 2.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$1 + 3 \cdot 1 i + 3 \cdot 1 i^{2} + i^{3}$

Paso 2.1.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$1 + 3 i + 3 \cdot 1 i^{2} + i^{3}$

Paso 2.1.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$1 + 3 i + 3 i^{2} + i^{3}$

Paso 2.1.5

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$1 + 3 i + 3 \cdot - 1 + i^{3}$

Paso 2.1.6

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$1 + 3 i - 3 + i^{3}$

Paso 2.1.7

Factoriza $i^{2}$ .

$1 + 3 i - 3 + i^{2} \cdot i$

Paso 2.1.8

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$1 + 3 i - 3 - 1 \cdot i$

Paso 2.1.9

Reescribe $- 1 i$ como $- i$ .

$1 + 3 i - 3 - i$

Paso 2.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 2.2.1

Resta $3$ de $1$ .

$- 2 + 3 i - i$

Paso 2.2.2

Resta $i$ de $3 i$ .

$- 2 + 2 i$

Paso 3

Esta es la forma trigonométrica de un número complejo donde $| z |$ es el módulo y $θ$ es el ángulo creado en el plano complejo.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Paso 4

El módulo de un número complejo es la distancia desde el origen en el plano complejo.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ donde $z = a + b i$

Paso 5

Sustituye los valores reales de $a = - 2$ y $b = 2$ .

$| z | = \sqrt{2^{2} + {(- 2)}^{2}}$

Paso 6

Obtén $| z |$ .

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Paso 6.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$| z | = \sqrt{4 + {(- 2)}^{2}}$

Paso 6.2

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$| z | = \sqrt{4 + 4}$

Paso 6.3

Suma $4$ y $4$ .

$| z | = \sqrt{8}$

Paso 6.4

Reescribe $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Paso 6.4.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$| z | = \sqrt{4 (2)}$

Paso 6.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$| z | = \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Paso 6.5

Retira los términos de abajo del radical.

$| z | = 2 \sqrt{2}$

Paso 7

El ángulo del punto en el plano complejo es la inversa de la tangente de la parte compleja en la parte real.

$θ = \arctan (\frac{2}{- 2})$

Paso 8

Como la tangente inversa de $\frac{2}{- 2}$ produce un ángulo en el segundo cuadrante, el valor del ángulo es $\frac{3 π}{4}$ .

$θ = \frac{3 π}{4}$

Paso 9

Sustituye los valores de $θ = \frac{3 π}{4}$ y $| z | = 2 \sqrt{2}$ .

$2 \sqrt{2} (\cos (\frac{3 π}{4}) + i \sin (\frac{3 π}{4}))$