Trigonometría Ejemplos

$7 i^{243} + 10 i^{986}$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Reescribe $i^{243}$ como ${(i^{4})}^{60} (i^{2} \cdot i)$ .

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Paso 1.1.1

Factoriza $i^{240}$ .

$7 (i^{240} i^{3}) + 10 i^{986}$

Paso 1.1.2

Reescribe $i^{240}$ como ${(i^{4})}^{60}$ .

$7 ({(i^{4})}^{60} i^{3}) + 10 i^{986}$

Paso 1.1.3

Factoriza $i^{2}$ .

$7 ({(i^{4})}^{60} (i^{2} \cdot i)) + 10 i^{986}$

Paso 1.2

Reescribe $i^{4}$ como $1$ .

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Paso 1.2.1

Reescribe $i^{4}$ como ${(i^{2})}^{2}$ .

$7 ({({(i^{2})}^{2})}^{60} (i^{2} \cdot i)) + 10 i^{986}$

Paso 1.2.2

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$7 ({({(- 1)}^{2})}^{60} (i^{2} \cdot i)) + 10 i^{986}$

Paso 1.2.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$7 (1^{60} (i^{2} \cdot i)) + 10 i^{986}$

Paso 1.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$7 (1 (i^{2} \cdot i)) + 10 i^{986}$

Paso 1.4

Multiplica $i^{2} \cdot i$ por $1$ .

$7 (i^{2} \cdot i) + 10 i^{986}$

Paso 1.5

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$7 (- 1 \cdot i) + 10 i^{986}$

Paso 1.6

Reescribe $- 1 i$ como $- i$ .

$7 (- i) + 10 i^{986}$

Paso 1.7

Multiplica $- 1$ por $7$ .

$- 7 i + 10 i^{986}$

Paso 1.8

Reescribe $i^{986}$ como ${(i^{4})}^{246} i^{2}$ .

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Paso 1.8.1

Factoriza $i^{984}$ .

$- 7 i + 10 (i^{984} i^{2})$

Paso 1.8.2

Reescribe $i^{984}$ como ${(i^{4})}^{246}$ .

$- 7 i + 10 ({(i^{4})}^{246} i^{2})$

Paso 1.9

Reescribe $i^{4}$ como $1$ .

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Paso 1.9.1

Reescribe $i^{4}$ como ${(i^{2})}^{2}$ .

$- 7 i + 10 ({({(i^{2})}^{2})}^{246} i^{2})$

Paso 1.9.2

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$- 7 i + 10 ({({(- 1)}^{2})}^{246} i^{2})$

Paso 1.9.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$- 7 i + 10 (1^{246} i^{2})$

Paso 1.10

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- 7 i + 10 (1 i^{2})$

Paso 1.11

Multiplica $i^{2}$ por $1$ .

$- 7 i + 10 i^{2}$

Paso 1.12

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$- 7 i + 10 \cdot - 1$

Paso 1.13

Multiplica $10$ por $- 1$ .

$- 7 i - 10$

Paso 2

Reordena $- 7 i$ y $- 10$ .

$- 10 - 7 i$

Paso 3

Esta es la forma trigonométrica de un número complejo donde $| z |$ es el módulo y $θ$ es el ángulo creado en el plano complejo.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Paso 4

El módulo de un número complejo es la distancia desde el origen en el plano complejo.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ donde $z = a + b i$

Paso 5

Sustituye los valores reales de $a = - 10$ y $b = - 7$ .

$| z | = \sqrt{{(- 7)}^{2} + {(- 10)}^{2}}$

Paso 6

Obtén $| z |$ .

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Paso 6.1

Eleva $- 7$ a la potencia de $2$ .

$| z | = \sqrt{49 + {(- 10)}^{2}}$

Paso 6.2

Eleva $- 10$ a la potencia de $2$ .

$| z | = \sqrt{49 + 100}$

Paso 6.3

Suma $49$ y $100$ .

$| z | = \sqrt{149}$

Paso 7

El ángulo del punto en el plano complejo es la inversa de la tangente de la parte compleja en la parte real.

$θ = \arctan (\frac{- 7}{- 10})$

Paso 8

Como la tangente inversa de $\frac{- 7}{- 10}$ produce un ángulo en el tercer cuadrante, el valor del ángulo es $3.75231861$ .

$θ = 3.75231861$

Paso 9

Sustituye los valores de $θ = 3.75231861$ y $| z | = \sqrt{149}$ .

$\sqrt{149} (\cos (3.75231861) + i \sin (3.75231861))$