Trigonometría Ejemplos

$5 \cos (θ) = 5 \cos (2 θ)$

Step 1

Resta $5 \cos (2 θ)$ de ambos lados de la ecuación.

$5 \cos (θ) - 5 \cos (2 θ) = 0$

Step 2

Simplifica cada término.

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Usa la razón del ángulo doble para transformar $\cos (2 x)$ a $2 \cos^{2} (x) - 1$ .

$5 \cos (θ) - 5 (2 \cos^{2} (θ) - 1) = 0$

Aplica la propiedad distributiva.

$5 \cos (θ) - 5 (2 \cos^{2} (θ)) - 5 \cdot - 1 = 0$

Multiplica $2$ por $- 5$ .

$5 \cos (θ) - 10 \cos^{2} (θ) - 5 \cdot - 1 = 0$

Multiplica $- 5$ por $- 1$ .

$5 \cos (θ) - 10 \cos^{2} (θ) + 5 = 0$

Step 3

Factoriza $5 \cos (θ) - 10 \cos^{2} (θ) + 5$ .

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Factoriza $5$ de $5 \cos (θ) - 10 \cos^{2} (θ) + 5$ .

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Factoriza $5$ de $5 \cos (θ)$ .

$5 \cos (θ) - 10 \cos^{2} (θ) + 5 = 0$

Factoriza $5$ de $- 10 \cos^{2} (θ)$ .

$5 \cos (θ) + 5 (- 2 \cos^{2} (θ)) + 5 = 0$

Factoriza $5$ de $5$ .

$5 \cos (θ) + 5 (- 2 \cos^{2} (θ)) + 5 (1) = 0$

Factoriza $5$ de $5 \cos (θ) + 5 (- 2 \cos^{2} (θ))$ .

$5 (\cos (θ) - 2 \cos^{2} (θ)) + 5 (1) = 0$

Factoriza $5$ de $5 (\cos (θ) - 2 \cos^{2} (θ)) + 5 (1)$ .

$5 (\cos (θ) - 2 \cos^{2} (θ) + 1) = 0$

Sea $u = \cos (θ)$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $\cos (θ)$ .

$5 (u - 2 u^{2} + 1) = 0$

Factoriza por agrupación.

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Reordena los términos.

$5 (- 2 u^{2} + u + 1) = 0$

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 2 \cdot 1 = - 2$ y cuya suma es $b = 1$ .

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Multiplica por $1$ .

$5 (- 2 u^{2} + 1 u + 1) = 0$

Reescribe $1$ como $- 1$ más $2$

$5 (- 2 u^{2} + (- 1 + 2) u + 1) = 0$

Aplica la propiedad distributiva.

$5 (- 2 u^{2} - 1 u + 2 u + 1) = 0$

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$5 ((- 2 u^{2} - 1 u) + 2 u + 1) = 0$

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$5 (u (- 2 u - 1) - (- 2 u - 1)) = 0$

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- 2 u - 1$ .

$5 ((- 2 u - 1) (u - 1)) = 0$

Factoriza.

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Reemplaza todos los casos de $u$ con $\cos (θ)$ .

$5 ((- 2 \cos (θ) - 1) (\cos (θ) - 1)) = 0$

Elimina los paréntesis innecesarios.

$5 (- 2 \cos (θ) - 1) (\cos (θ) - 1) = 0$

Step 4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$- 2 \cos (θ) - 1 = 0$

$\cos (θ) - 1 = 0$

Step 5

Establece $- 2 \cos (θ) - 1$ igual a $0$ y resuelve $θ$ .

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Establece $- 2 \cos (θ) - 1$ igual a $0$ .

$- 2 \cos (θ) - 1 = 0$

Resuelve $- 2 \cos (θ) - 1 = 0$ en $θ$ .

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Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$- 2 \cos (θ) = 1$

Divide cada término en $- 2 \cos (θ) = 1$ por $- 2$ y simplifica.

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Divide cada término en $- 2 \cos (θ) = 1$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 \cos (θ)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $- 2$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{- 2 \cos (θ)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Divide $\cos (θ)$ por $1$ .

$\cos (θ) = \frac{1}{- 2}$

Simplifica el lado derecho.

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Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\cos (θ) = - \frac{1}{2}$

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $θ$ del interior del coseno.

$θ = \arccos (- \frac{1}{2})$

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $\arccos (- \frac{1}{2})$ es $\frac{2 π}{3}$ .

$θ = \frac{2 π}{3}$

El coseno es negativo en el segundo y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$θ = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Simplifica $2 π - \frac{2 π}{3}$ .

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Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$θ = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Combina fracciones.

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Combina $2 π$ y $\frac{3}{3}$ .

$θ = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$θ = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Simplifica el numerador.

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Multiplica $3$ por $2$ .

$θ = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Resta $2 π$ de $6 π$ .

$θ = \frac{4 π}{3}$

Obtén el período de $\cos (θ)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

El período de la función $\cos (θ)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$θ = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 6

Establece $\cos (θ) - 1$ igual a $0$ y resuelve $θ$ .

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Establece $\cos (θ) - 1$ igual a $0$ .

$\cos (θ) - 1 = 0$

Resuelve $\cos (θ) - 1 = 0$ en $θ$ .

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Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$\cos (θ) = 1$

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $θ$ del interior del coseno.

$θ = \arccos (1)$

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $\arccos (1)$ es $0$ .

$θ = 0$

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$θ = 2 π - 0$

Resta $0$ de $2 π$ .

$θ = 2 π$

Obtén el período de $\cos (θ)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

El período de la función $\cos (θ)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$θ = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 7

La solución final comprende todos los valores que hacen $5 (- 2 \cos (θ) - 1) (\cos (θ) - 1) = 0$ verdadera.

$θ = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 8

Consolida las respuestas.

$θ = \frac{2 π n}{3}$ , para cualquier número entero $n$