Trigonometría Ejemplos

حل من أجل ? 5cos(theta)=5cos(2theta)
5cos(θ)=5cos(2θ)5cos(θ)=5cos(2θ)
Step 1
Resta 5cos(2θ)5cos(2θ) de ambos lados de la ecuación.
5cos(θ)-5cos(2θ)=05cos(θ)5cos(2θ)=0
Step 2
Simplifica cada término.
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Usa la razón del ángulo doble para transformar cos(2x)cos(2x) a 2cos2(x)-12cos2(x)1.
5cos(θ)-5(2cos2(θ)-1)=05cos(θ)5(2cos2(θ)1)=0
Aplica la propiedad distributiva.
5cos(θ)-5(2cos2(θ))-5-1=05cos(θ)5(2cos2(θ))51=0
Multiplica 22 por -55.
5cos(θ)-10cos2(θ)-5-1=05cos(θ)10cos2(θ)51=0
Multiplica -55 por -11.
5cos(θ)-10cos2(θ)+5=05cos(θ)10cos2(θ)+5=0
5cos(θ)-10cos2(θ)+5=05cos(θ)10cos2(θ)+5=0
Step 3
Factoriza 5cos(θ)-10cos2(θ)+55cos(θ)10cos2(θ)+5.
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Factoriza 55 de 5cos(θ)-10cos2(θ)+55cos(θ)10cos2(θ)+5.
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Factoriza 55 de 5cos(θ)5cos(θ).
5cos(θ)-10cos2(θ)+5=05cos(θ)10cos2(θ)+5=0
Factoriza 55 de -10cos2(θ)10cos2(θ).
5cos(θ)+5(-2cos2(θ))+5=05cos(θ)+5(2cos2(θ))+5=0
Factoriza 55 de 55.
5cos(θ)+5(-2cos2(θ))+5(1)=05cos(θ)+5(2cos2(θ))+5(1)=0
Factoriza 55 de 5cos(θ)+5(-2cos2(θ))5cos(θ)+5(2cos2(θ)).
5(cos(θ)-2cos2(θ))+5(1)=05(cos(θ)2cos2(θ))+5(1)=0
Factoriza 55 de 5(cos(θ)-2cos2(θ))+5(1)5(cos(θ)2cos2(θ))+5(1).
5(cos(θ)-2cos2(θ)+1)=05(cos(θ)2cos2(θ)+1)=0
5(cos(θ)-2cos2(θ)+1)=05(cos(θ)2cos2(θ)+1)=0
Sea u=cos(θ)u=cos(θ). Sustituye uu por todos los casos de cos(θ)cos(θ).
5(u-2u2+1)=05(u2u2+1)=0
Factoriza por agrupación.
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Reordena los términos.
5(-2u2+u+1)=05(2u2+u+1)=0
Para un polinomio de la forma ax2+bx+cax2+bx+c, reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es ac=-21=-2ac=21=2 y cuya suma es b=1b=1.
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Multiplica por 11.
5(-2u2+1u+1)=05(2u2+1u+1)=0
Reescribe 11 como -11 más 22
5(-2u2+(-1+2)u+1)=05(2u2+(1+2)u+1)=0
Aplica la propiedad distributiva.
5(-2u2-1u+2u+1)=05(2u21u+2u+1)=0
5(-2u2-1u+2u+1)=05(2u21u+2u+1)=0
Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.
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Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.
5((-2u2-1u)+2u+1)=05((2u21u)+2u+1)=0
Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.
5(u(-2u-1)-(-2u-1))=05(u(2u1)(2u1))=0
5(u(-2u-1)-(-2u-1))=05(u(2u1)(2u1))=0
Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, -2u-12u1.
5((-2u-1)(u-1))=05((2u1)(u1))=0
5((-2u-1)(u-1))=05((2u1)(u1))=0
Factoriza.
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Reemplaza todos los casos de uu con cos(θ)cos(θ).
5((-2cos(θ)-1)(cos(θ)-1))=05((2cos(θ)1)(cos(θ)1))=0
Elimina los paréntesis innecesarios.
5(-2cos(θ)-1)(cos(θ)-1)=05(2cos(θ)1)(cos(θ)1)=0
5(-2cos(θ)-1)(cos(θ)-1)=05(2cos(θ)1)(cos(θ)1)=0
5(-2cos(θ)-1)(cos(θ)-1)=05(2cos(θ)1)(cos(θ)1)=0
Step 4
Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a 00, la expresión completa será igual a 00.
-2cos(θ)-1=02cos(θ)1=0
cos(θ)-1=0cos(θ)1=0
Step 5
Establece -2cos(θ)-12cos(θ)1 igual a 00 y resuelve θθ.
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Establece -2cos(θ)-12cos(θ)1 igual a 00.
-2cos(θ)-1=02cos(θ)1=0
Resuelve -2cos(θ)-1=02cos(θ)1=0 en θθ.
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Suma 11 a ambos lados de la ecuación.
-2cos(θ)=12cos(θ)=1
Divide cada término en -2cos(θ)=12cos(θ)=1 por -22 y simplifica.
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Divide cada término en -2cos(θ)=12cos(θ)=1 por -22.
-2cos(θ)-2=1-22cos(θ)2=12
Simplifica el lado izquierdo.
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Cancela el factor común de -22.
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Cancela el factor común.
-2cos(θ)-2=1-2
Divide cos(θ) por 1.
cos(θ)=1-2
cos(θ)=1-2
cos(θ)=1-2
Simplifica el lado derecho.
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Mueve el negativo al frente de la fracción.
cos(θ)=-12
cos(θ)=-12
cos(θ)=-12
Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer θ del interior del coseno.
θ=arccos(-12)
Simplifica el lado derecho.
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El valor exacto de arccos(-12) es 2π3.
θ=2π3
θ=2π3
El coseno es negativo en el segundo y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de 2π para obtener la solución en el tercer cuadrante.
θ=2π-2π3
Simplifica 2π-2π3.
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Para escribir 2π como una fracción con un denominador común, multiplica por 33.
θ=2π33-2π3
Combina fracciones.
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Combina 2π y 33.
θ=2π33-2π3
Combina los numeradores sobre el denominador común.
θ=2π3-2π3
θ=2π3-2π3
Simplifica el numerador.
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Multiplica 3 por 2.
θ=6π-2π3
Resta 2π de 6π.
θ=4π3
θ=4π3
θ=4π3
Obtén el período de cos(θ).
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El período de la función puede calcularse mediante 2π|b|.
2π|b|
Reemplaza b con 1 en la fórmula para el período.
2π|1|
El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre 0 y 1 es 1.
2π1
Divide 2π por 1.
2π
2π
El período de la función cos(θ) es 2π, por lo que los valores se repetirán cada 2π radianes en ambas direcciones.
θ=2π3+2πn,4π3+2πn, para cualquier número entero n
θ=2π3+2πn,4π3+2πn, para cualquier número entero n
θ=2π3+2πn,4π3+2πn, para cualquier número entero n
Step 6
Establece cos(θ)-1 igual a 0 y resuelve θ.
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Establece cos(θ)-1 igual a 0.
cos(θ)-1=0
Resuelve cos(θ)-1=0 en θ.
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Suma 1 a ambos lados de la ecuación.
cos(θ)=1
Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer θ del interior del coseno.
θ=arccos(1)
Simplifica el lado derecho.
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El valor exacto de arccos(1) es 0.
θ=0
θ=0
La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de 2π para obtener la solución en el cuarto cuadrante.
θ=2π-0
Resta 0 de 2π.
θ=2π
Obtén el período de cos(θ).
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El período de la función puede calcularse mediante 2π|b|.
2π|b|
Reemplaza b con 1 en la fórmula para el período.
2π|1|
El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre 0 y 1 es 1.
2π1
Divide 2π por 1.
2π
2π
El período de la función cos(θ) es 2π, por lo que los valores se repetirán cada 2π radianes en ambas direcciones.
θ=2πn,2π+2πn, para cualquier número entero n
θ=2πn,2π+2πn, para cualquier número entero n
θ=2πn,2π+2πn, para cualquier número entero n
Step 7
La solución final comprende todos los valores que hacen 5(-2cos(θ)-1)(cos(θ)-1)=0 verdadera.
θ=2π3+2πn,4π3+2πn,2πn,2π+2πn, para cualquier número entero n
Step 8
Consolida las respuestas.
θ=2πn3, para cualquier número entero n
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