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Trigonometría Ejemplos
5cos(θ)=5cos(2θ)5cos(θ)=5cos(2θ)
Step 1
Resta 5cos(2θ)5cos(2θ) de ambos lados de la ecuación.
5cos(θ)-5cos(2θ)=05cos(θ)−5cos(2θ)=0
Step 2
Usa la razón del ángulo doble para transformar cos(2x)cos(2x) a 2cos2(x)-12cos2(x)−1.
5cos(θ)-5(2cos2(θ)-1)=05cos(θ)−5(2cos2(θ)−1)=0
Aplica la propiedad distributiva.
5cos(θ)-5(2cos2(θ))-5⋅-1=05cos(θ)−5(2cos2(θ))−5⋅−1=0
Multiplica 22 por -5−5.
5cos(θ)-10cos2(θ)-5⋅-1=05cos(θ)−10cos2(θ)−5⋅−1=0
Multiplica -5−5 por -1−1.
5cos(θ)-10cos2(θ)+5=05cos(θ)−10cos2(θ)+5=0
5cos(θ)-10cos2(θ)+5=05cos(θ)−10cos2(θ)+5=0
Step 3
Factoriza 55 de 5cos(θ)-10cos2(θ)+55cos(θ)−10cos2(θ)+5.
Factoriza 55 de 5cos(θ)5cos(θ).
5cos(θ)-10cos2(θ)+5=05cos(θ)−10cos2(θ)+5=0
Factoriza 55 de -10cos2(θ)−10cos2(θ).
5cos(θ)+5(-2cos2(θ))+5=05cos(θ)+5(−2cos2(θ))+5=0
Factoriza 55 de 55.
5cos(θ)+5(-2cos2(θ))+5(1)=05cos(θ)+5(−2cos2(θ))+5(1)=0
Factoriza 55 de 5cos(θ)+5(-2cos2(θ))5cos(θ)+5(−2cos2(θ)).
5(cos(θ)-2cos2(θ))+5(1)=05(cos(θ)−2cos2(θ))+5(1)=0
Factoriza 55 de 5(cos(θ)-2cos2(θ))+5(1)5(cos(θ)−2cos2(θ))+5(1).
5(cos(θ)-2cos2(θ)+1)=05(cos(θ)−2cos2(θ)+1)=0
5(cos(θ)-2cos2(θ)+1)=05(cos(θ)−2cos2(θ)+1)=0
Sea u=cos(θ)u=cos(θ). Sustituye uu por todos los casos de cos(θ)cos(θ).
5(u-2u2+1)=05(u−2u2+1)=0
Factoriza por agrupación.
Reordena los términos.
5(-2u2+u+1)=05(−2u2+u+1)=0
Para un polinomio de la forma ax2+bx+cax2+bx+c, reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es a⋅c=-2⋅1=-2a⋅c=−2⋅1=−2 y cuya suma es b=1b=1.
Multiplica por 11.
5(-2u2+1u+1)=05(−2u2+1u+1)=0
Reescribe 11 como -1−1 más 22
5(-2u2+(-1+2)u+1)=05(−2u2+(−1+2)u+1)=0
Aplica la propiedad distributiva.
5(-2u2-1u+2u+1)=05(−2u2−1u+2u+1)=0
5(-2u2-1u+2u+1)=05(−2u2−1u+2u+1)=0
Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.
Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.
5((-2u2-1u)+2u+1)=05((−2u2−1u)+2u+1)=0
Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.
5(u(-2u-1)-(-2u-1))=05(u(−2u−1)−(−2u−1))=0
5(u(-2u-1)-(-2u-1))=05(u(−2u−1)−(−2u−1))=0
Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, -2u-1−2u−1.
5((-2u-1)(u-1))=05((−2u−1)(u−1))=0
5((-2u-1)(u-1))=05((−2u−1)(u−1))=0
Factoriza.
Reemplaza todos los casos de uu con cos(θ)cos(θ).
5((-2cos(θ)-1)(cos(θ)-1))=05((−2cos(θ)−1)(cos(θ)−1))=0
Elimina los paréntesis innecesarios.
5(-2cos(θ)-1)(cos(θ)-1)=05(−2cos(θ)−1)(cos(θ)−1)=0
5(-2cos(θ)-1)(cos(θ)-1)=05(−2cos(θ)−1)(cos(θ)−1)=0
5(-2cos(θ)-1)(cos(θ)-1)=05(−2cos(θ)−1)(cos(θ)−1)=0
Step 4
Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a 00, la expresión completa será igual a 00.
-2cos(θ)-1=0−2cos(θ)−1=0
cos(θ)-1=0cos(θ)−1=0
Step 5
Establece -2cos(θ)-1−2cos(θ)−1 igual a 00.
-2cos(θ)-1=0−2cos(θ)−1=0
Resuelve -2cos(θ)-1=0−2cos(θ)−1=0 en θθ.
Suma 11 a ambos lados de la ecuación.
-2cos(θ)=1−2cos(θ)=1
Divide cada término en -2cos(θ)=1−2cos(θ)=1 por -2−2 y simplifica.
Divide cada término en -2cos(θ)=1−2cos(θ)=1 por -2−2.
-2cos(θ)-2=1-2−2cos(θ)−2=1−2
Simplifica el lado izquierdo.
Cancela el factor común de -2−2.
Cancela el factor común.
-2cos(θ)-2=1-2
Divide cos(θ) por 1.
cos(θ)=1-2
cos(θ)=1-2
cos(θ)=1-2
Simplifica el lado derecho.
Mueve el negativo al frente de la fracción.
cos(θ)=-12
cos(θ)=-12
cos(θ)=-12
Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer θ del interior del coseno.
θ=arccos(-12)
Simplifica el lado derecho.
El valor exacto de arccos(-12) es 2π3.
θ=2π3
θ=2π3
El coseno es negativo en el segundo y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de 2π para obtener la solución en el tercer cuadrante.
θ=2π-2π3
Simplifica 2π-2π3.
Para escribir 2π como una fracción con un denominador común, multiplica por 33.
θ=2π⋅33-2π3
Combina fracciones.
Combina 2π y 33.
θ=2π⋅33-2π3
Combina los numeradores sobre el denominador común.
θ=2π⋅3-2π3
θ=2π⋅3-2π3
Simplifica el numerador.
Multiplica 3 por 2.
θ=6π-2π3
Resta 2π de 6π.
θ=4π3
θ=4π3
θ=4π3
Obtén el período de cos(θ).
El período de la función puede calcularse mediante 2π|b|.
2π|b|
Reemplaza b con 1 en la fórmula para el período.
2π|1|
El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre 0 y 1 es 1.
2π1
Divide 2π por 1.
2π
2π
El período de la función cos(θ) es 2π, por lo que los valores se repetirán cada 2π radianes en ambas direcciones.
θ=2π3+2πn,4π3+2πn, para cualquier número entero n
θ=2π3+2πn,4π3+2πn, para cualquier número entero n
θ=2π3+2πn,4π3+2πn, para cualquier número entero n
Step 6
Establece cos(θ)-1 igual a 0.
cos(θ)-1=0
Resuelve cos(θ)-1=0 en θ.
Suma 1 a ambos lados de la ecuación.
cos(θ)=1
Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer θ del interior del coseno.
θ=arccos(1)
Simplifica el lado derecho.
El valor exacto de arccos(1) es 0.
θ=0
θ=0
La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de 2π para obtener la solución en el cuarto cuadrante.
θ=2π-0
Resta 0 de 2π.
θ=2π
Obtén el período de cos(θ).
El período de la función puede calcularse mediante 2π|b|.
2π|b|
Reemplaza b con 1 en la fórmula para el período.
2π|1|
El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre 0 y 1 es 1.
2π1
Divide 2π por 1.
2π
2π
El período de la función cos(θ) es 2π, por lo que los valores se repetirán cada 2π radianes en ambas direcciones.
θ=2πn,2π+2πn, para cualquier número entero n
θ=2πn,2π+2πn, para cualquier número entero n
θ=2πn,2π+2πn, para cualquier número entero n
Step 7
La solución final comprende todos los valores que hacen 5(-2cos(θ)-1)(cos(θ)-1)=0 verdadera.
θ=2π3+2πn,4π3+2πn,2πn,2π+2πn, para cualquier número entero n
Step 8
Consolida las respuestas.
θ=2πn3, para cualquier número entero n