Trigonometría Ejemplos

$f (x) = \cos (x + 2) + 1$

Paso 1

Escribe $f (x) = \cos (x + 2) + 1$ como una ecuación.

$y = \cos (x + 2) + 1$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \cos (y + 2) + 1$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\cos (y + 2) + 1 = x$ .

$\cos (y + 2) + 1 = x$

Paso 3.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$\cos (y + 2) = x - 1$

Paso 3.3

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $y$ del interior del coseno.

$y + 2 = \arccos (x - 1)$

Paso 3.4

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$y = \arccos (x - 1) - 2$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \arccos (x - 1) - 2$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \arccos (x - 1) - 2$ es la inversa de $f (x) = \cos (x + 2) + 1$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\cos (x + 2) + 1)$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\cos (x + 2) + 1) = \arccos ((\cos (x + 2) + 1) - 1) - 2$

Paso 5.2.3

Combina los términos opuestos en $\arccos ((\cos (x + 2) + 1) - 1) - 2$ .

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Paso 5.2.3.1

Resta $1$ de $1$ .

$f^{- 1} (\cos (x + 2) + 1) = \arccos (\cos (x + 2) + 0) - 2$

Paso 5.2.3.2

Suma $\cos (x + 2)$ y $0$ .

$f^{- 1} (\cos (x + 2) + 1) = \arccos (\cos (x + 2)) - 2$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\arccos (x - 1) - 2)$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\arccos (x - 1) - 2) = \cos ((\arccos (x - 1) - 2) + 2) + 1$

Paso 5.3.3

Combina los términos opuestos en $\cos ((\arccos (x - 1) - 2) + 2) + 1$ .

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Paso 5.3.3.1

Suma $- 2$ y $2$ .

$f (\arccos (x - 1) - 2) = \cos (\arccos (x - 1) + 0) + 1$

Paso 5.3.3.2

Suma $\arccos (x - 1)$ y $0$ .

$f (\arccos (x - 1) - 2) = \cos (\arccos (x - 1)) + 1$

Paso 5.3.4

Las funciones coseno y arcocoseno son inversas.

$f (\arccos (x - 1) - 2) = x - 1 + 1$

Paso 5.3.5

Combina los términos opuestos en $x - 1 + 1$ .

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Paso 5.3.5.1

Suma $- 1$ y $1$ .

$f (\arccos (x - 1) - 2) = x + 0$

Paso 5.3.5.2

Suma $x$ y $0$ .

$f (\arccos (x - 1) - 2) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \arccos (x - 1) - 2$ es la inversa de $f (x) = \cos (x + 2) + 1$ .

$f^{- 1} (x) = \arccos (x - 1) - 2$