Trigonometría Ejemplos

$f (x) = \frac{1}{3} \cdot (2 x - 3)$

Paso 1

Escribe $f (x) = \frac{1}{3} \cdot (2 x - 3)$ como una ecuación.

$y = \frac{1}{3} \cdot (2 x - 3)$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \frac{1}{3} \cdot (2 y - 3)$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\frac{1}{3} \cdot (2 y - 3) = x$ .

$\frac{1}{3} \cdot (2 y - 3) = x$

Paso 3.2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $3$ .

$3 (\frac{1}{3} \cdot (2 y - 3)) = 3 x$

Paso 3.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.1

Simplifica $3 (\frac{1}{3} \cdot (2 y - 3))$ .

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Paso 3.3.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 (\frac{1}{3} (2 y) + \frac{1}{3} \cdot - 3) = 3 x$

Paso 3.3.1.2

Multiplica $\frac{1}{3} (2 y)$ .

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Paso 3.3.1.2.1

Combina $2$ y $\frac{1}{3}$ .

$3 (\frac{2}{3} y + \frac{1}{3} \cdot - 3) = 3 x$

Paso 3.3.1.2.2

Combina $\frac{2}{3}$ y $y$ .

$3 (\frac{2 y}{3} + \frac{1}{3} \cdot - 3) = 3 x$

Paso 3.3.1.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.3.1.3.1

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$3 (\frac{2 y}{3} + \frac{1}{3} \cdot (3 (- 1))) = 3 x$

Paso 3.3.1.3.2

Cancela el factor común.

$3 (\frac{2 y}{3} + \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot - 1)) = 3 x$

Paso 3.3.1.3.3

Reescribe la expresión.

$3 (\frac{2 y}{3} - 1) = 3 x$

Paso 3.3.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$3 \frac{2 y}{3} + 3 \cdot - 1 = 3 x$

Paso 3.3.1.5

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.3.1.5.1

Cancela el factor común.

$3 \frac{2 y}{3} + 3 \cdot - 1 = 3 x$

Paso 3.3.1.5.2

Reescribe la expresión.

$2 y + 3 \cdot - 1 = 3 x$

Paso 3.3.1.6

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$2 y - 3 = 3 x$

Paso 3.4

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$2 y = 3 x + 3$

Paso 3.5

Divide cada término en $2 y = 3 x + 3$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.5.1

Divide cada término en $2 y = 3 x + 3$ por $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2}$

Paso 3.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y}{2} = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2}$

Paso 3.5.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2}$

Paso 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2}$ es la inversa de $f (x) = \frac{1}{3} \cdot (2 x - 3)$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot (2 x - 3))$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot (2 x - 3)) = \frac{3 (\frac{1}{3} \cdot (2 x - 3))}{2} + \frac{3}{2}$

Paso 5.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot (2 x - 3)) = \frac{3 (\frac{1}{3} \cdot (2 x - 3)) + 3}{2}$

Paso 5.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot (2 x - 3)) = \frac{3 (\frac{1}{3} \cdot (2 x) + \frac{1}{3} \cdot - 3) + 3}{2}$

Paso 5.2.4.2

Multiplica $\frac{1}{3} (2 x)$ .

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Paso 5.2.4.2.1

Combina $2$ y $\frac{1}{3}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot (2 x - 3)) = \frac{3 (\frac{2}{3} x + \frac{1}{3} \cdot - 3) + 3}{2}$

Paso 5.2.4.2.2

Combina $\frac{2}{3}$ y $x$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot (2 x - 3)) = \frac{3 (\frac{2 x}{3} + \frac{1}{3} \cdot - 3) + 3}{2}$

Paso 5.2.4.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.2.4.3.1

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot (2 x - 3)) = \frac{3 (\frac{2 x}{3} + \frac{1}{3} \cdot (3 (- 1))) + 3}{2}$

Paso 5.2.4.3.2

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot (2 x - 3)) = \frac{3 (\frac{2 x}{3} + \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot - 1)) + 3}{2}$

Paso 5.2.4.3.3

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot (2 x - 3)) = \frac{3 (\frac{2 x}{3} - 1) + 3}{2}$

Paso 5.2.4.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot (2 x - 3)) = \frac{3 (\frac{2 x}{3}) + 3 \cdot - 1 + 3}{2}$

Paso 5.2.4.5

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.2.4.5.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot (2 x - 3)) = \frac{3 (\frac{2 x}{3}) + 3 \cdot - 1 + 3}{2}$

Paso 5.2.4.5.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot (2 x - 3)) = \frac{2 x + 3 \cdot - 1 + 3}{2}$

Paso 5.2.4.6

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot (2 x - 3)) = \frac{2 x - 3 + 3}{2}$

Paso 5.2.5

Simplifica los términos.

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Paso 5.2.5.1

Combina los términos opuestos en $2 x - 3 + 3$ .

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Paso 5.2.5.1.1

Suma $- 3$ y $3$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot (2 x - 3)) = \frac{2 x + 0}{2}$

Paso 5.2.5.1.2

Suma $2 x$ y $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot (2 x - 3)) = \frac{2 x}{2}$

Paso 5.2.5.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.5.2.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot (2 x - 3)) = \frac{2 x}{2}$

Paso 5.2.5.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot (2 x - 3)) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\frac{3 x}{2} + \frac{3}{2})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{3}{2}) = \frac{1}{3} \cdot (2 (\frac{3 x}{2} + \frac{3}{2}) - 3)$

Paso 5.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{3}{2}) = \frac{1}{3} \cdot (2 (\frac{3 x}{2}) + 2 (\frac{3}{2}) - 3)$

Paso 5.3.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.3.2.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{3}{2}) = \frac{1}{3} \cdot (2 (\frac{3 x}{2}) + 2 (\frac{3}{2}) - 3)$

Paso 5.3.3.2.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{3}{2}) = \frac{1}{3} \cdot (3 x + 2 (\frac{3}{2}) - 3)$

Paso 5.3.3.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.3.3.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{3}{2}) = \frac{1}{3} \cdot (3 x + 2 (\frac{3}{2}) - 3)$

Paso 5.3.3.3.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{3}{2}) = \frac{1}{3} \cdot (3 x + 3 - 3)$

Paso 5.3.4

Simplifica los términos.

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Paso 5.3.4.1

Combina los términos opuestos en $3 x + 3 - 3$ .

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Paso 5.3.4.1.1

Resta $3$ de $3$ .

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{3}{2}) = \frac{1}{3} \cdot (3 x + 0)$

Paso 5.3.4.1.2

Suma $3 x$ y $0$ .

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{3}{2}) = \frac{1}{3} \cdot (3 x)$

Paso 5.3.4.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.3.4.2.1

Factoriza $3$ de $3 x$ .

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{3}{2}) = \frac{1}{3} \cdot (3 (x))$

Paso 5.3.4.2.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{3}{2}) = \frac{1}{3} \cdot (3 x)$

Paso 5.3.4.2.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{3}{2}) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2}$ es la inversa de $f (x) = \frac{1}{3} \cdot (2 x - 3)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2}$