Trigonometría Ejemplos

$f (t) = \frac{1}{2} \cdot \sec (t + 2) - π$

Paso 1

Escribe $f (t) = \frac{1}{2} \cdot \sec (t + 2) - π$ como una ecuación.

$y = \frac{1}{2} \cdot \sec (t + 2) - π$

Paso 2

Intercambia las variables.

$t = \frac{1}{2} \cdot \sec (y + 2) - π$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\frac{1}{2} \cdot \sec (y + 2) - π = t$ .

$\frac{1}{2} \cdot \sec (y + 2) - π = t$

Paso 3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $\sec (y + 2)$ .

$\frac{\sec (y + 2)}{2} - π = t$

Paso 3.3

Suma $π$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{\sec (y + 2)}{2} = t + π$

Paso 3.4

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 \frac{\sec (y + 2)}{2} = 2 (t + π)$

Paso 3.5

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.5.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.5.1.1.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{\sec (y + 2)}{2} = 2 (t + π)$

Paso 3.5.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\sec (y + 2) = 2 (t + π)$

Paso 3.5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\sec (y + 2) = 2 t + 2 π$

Paso 3.6

Calcula la inversa de la secante de ambos lados de la ecuación para extraer $y$ del interior de la secante.

$y + 2 = arcsec (2 t + 2 π)$

Paso 3.7

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$y = arcsec (2 t + 2 π) - 2$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (t)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (t) = arcsec (2 t + 2 π) - 2$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (t) = arcsec (2 t + 2 π) - 2$ es la inversa de $f (t) = \frac{1}{2} \cdot \sec (t + 2) - π$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (t)) = t$ y $f (f^{- 1} (t)) = t$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (t))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (t))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sec (t + 2) - π)$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sec (t + 2) - π) = arcsec (2 (\frac{1}{2} \cdot \sec (t + 2) - π) + 2 π) - 2$

Paso 5.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.3.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $\sec (t + 2)$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sec (t + 2) - π) = arcsec (2 (\frac{\sec (t + 2)}{2} - π) + 2 π) - 2$

Paso 5.2.3.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sec (t + 2) - π) = arcsec (2 (\frac{\sec (t + 2)}{2}) + 2 (- π) + 2 π) - 2$

Paso 5.2.3.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.3.1.3.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sec (t + 2) - π) = arcsec (2 (\frac{\sec (t + 2)}{2}) + 2 (- π) + 2 π) - 2$

Paso 5.2.3.1.3.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sec (t + 2) - π) = arcsec (\sec (t + 2) + 2 (- π) + 2 π) - 2$

Paso 5.2.3.1.4

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sec (t + 2) - π) = arcsec (\sec (t + 2) - 2 π + 2 π) - 2$

Paso 5.2.3.2

Combina los términos opuestos en $\sec (t + 2) - 2 π + 2 π$ .

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Paso 5.2.3.2.1

Suma $- 2 π$ y $2 π$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sec (t + 2) - π) = arcsec (\sec (t + 2) + 0) - 2$

Paso 5.2.3.2.2

Suma $\sec (t + 2)$ y $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sec (t + 2) - π) = arcsec (\sec (t + 2)) - 2$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (t))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (t))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (arcsec (2 t + 2 π) - 2)$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (arcsec (2 t + 2 π) - 2) = \frac{1}{2} \cdot \sec ((arcsec (2 t + 2 π) - 2) + 2) - π$

Paso 5.3.3

Combina los términos opuestos en $\frac{1}{2} \cdot \sec ((arcsec (2 t + 2 π) - 2) + 2) - π$ .

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Paso 5.3.3.1

Suma $- 2$ y $2$ .

$f (arcsec (2 t + 2 π) - 2) = \frac{1}{2} \cdot \sec (arcsec (2 t + 2 π) + 0) - π$

Paso 5.3.3.2

Suma $arcsec (2 t + 2 π)$ y $0$ .

$f (arcsec (2 t + 2 π) - 2) = \frac{1}{2} \cdot \sec (arcsec (2 t + 2 π)) - π$

Paso 5.3.4

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.4.1

Las funciones secante y arcosecante son inversas.

$f (arcsec (2 t + 2 π) - 2) = \frac{1}{2} \cdot (2 t + 2 π) - π$

Paso 5.3.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (arcsec (2 t + 2 π) - 2) = \frac{1}{2} \cdot (2 t) + \frac{1}{2} \cdot (2 π) - π$

Paso 5.3.4.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.4.3.1

Factoriza $2$ de $2 t$ .

$f (arcsec (2 t + 2 π) - 2) = \frac{1}{2} \cdot (2 (t)) + \frac{1}{2} \cdot (2 π) - π$

Paso 5.3.4.3.2

Cancela el factor común.

$f (arcsec (2 t + 2 π) - 2) = \frac{1}{2} \cdot (2 t) + \frac{1}{2} \cdot (2 π) - π$

Paso 5.3.4.3.3

Reescribe la expresión.

$f (arcsec (2 t + 2 π) - 2) = t + \frac{1}{2} \cdot (2 π) - π$

Paso 5.3.4.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.4.4.1

Factoriza $2$ de $2 π$ .

$f (arcsec (2 t + 2 π) - 2) = t + \frac{1}{2} \cdot (2 (π)) - π$

Paso 5.3.4.4.2

Cancela el factor común.

$f (arcsec (2 t + 2 π) - 2) = t + \frac{1}{2} \cdot (2 π) - π$

Paso 5.3.4.4.3

Reescribe la expresión.

$f (arcsec (2 t + 2 π) - 2) = t + π - π$

Paso 5.3.5

Combina los términos opuestos en $t + π - π$ .

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Paso 5.3.5.1

Resta $π$ de $π$ .

$f (arcsec (2 t + 2 π) - 2) = t + 0$

Paso 5.3.5.2

Suma $t$ y $0$ .

$f (arcsec (2 t + 2 π) - 2) = t$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (t)) = t$ y $f (f^{- 1} (t)) = t$ , entonces $f^{- 1} (t) = arcsec (2 t + 2 π) - 2$ es la inversa de $f (t) = \frac{1}{2} \cdot \sec (t + 2) - π$ .

$f^{- 1} (t) = arcsec (2 t + 2 π) - 2$