Trigonometría Ejemplos

$f (x) = {\tan (2 x)}^{\frac{1}{2}}$

Paso 1

Convierte las expresiones con exponentes fraccionarios en radicales.

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Paso 1.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$\sqrt{\tan^{1} (2 x)}$

Paso 1.2

Cualquier número elevado a la potencia de $1$ es la misma base.

$\sqrt{\tan (2 x)}$

Paso 2

Establece el radicando en $\sqrt{\tan (2 x)}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$\tan (2 x) \geq 0$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la tangente.

$2 x \geq \arctan (0)$

Paso 3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.1

El valor exacto de $\arctan (0)$ es $0$ .

$2 x \geq 0$

Paso 3.3

Divide cada término en $2 x \geq 0$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.3.1

Divide cada término en $2 x \geq 0$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{0}{2}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{0}{2}$

Paso 3.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x \geq \frac{0}{2}$

Paso 3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.1

Divide $0$ por $2$ .

$x \geq 0$

Paso 3.4

La función tangente es positiva en el primer y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, suma el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$2 x = π + 0$

Paso 3.5

Resuelve $x$

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Paso 3.5.1

Suma $π$ y $0$ .

$2 x = π$

Paso 3.5.2

Divide cada término en $2 x = π$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.5.2.1

Divide cada término en $2 x = π$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Paso 3.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Paso 3.5.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{π}{2}$

Paso 3.6

Obtén el período de $\tan (2 x)$ .

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Paso 3.6.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Paso 3.6.2

Reemplaza $b$ con $2$ en la fórmula para el período.

$\frac{π}{| 2 |}$

Paso 3.6.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $2$ es $2$ .

$\frac{π}{2}$

Paso 3.7

El período de la función $\tan (2 x)$ es $\frac{π}{2}$ , por lo que los valores se repetirán cada $\frac{π}{2}$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π n}{2}, \frac{π}{2} + \frac{π n}{2}$ , para cualquier número entero $n$

Paso 3.8

Consolida las respuestas.

$x = \frac{π n}{2}$ , para cualquier número entero $n$

Paso 3.9

Obtén el dominio de $\tan (2 x)$ .

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Paso 3.9.1

Establece el argumento en $\tan (2 x)$ igual que $\frac{π}{2} + π n$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$2 x = \frac{π}{2} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 3.9.2

Divide cada término en $2 x = \frac{π}{2} + π n$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.9.2.1

Divide cada término en $2 x = \frac{π}{2} + π n$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{π n}{2}$

Paso 3.9.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.9.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.9.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{π n}{2}$

Paso 3.9.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{π n}{2}$

Paso 3.9.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.9.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.9.2.3.1.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{π n}{2}$

Paso 3.9.2.3.1.2

Multiplica $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 3.9.2.3.1.2.1

Multiplica $\frac{π}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 2} + \frac{π n}{2}$

Paso 3.9.2.3.1.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$

Paso 3.9.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

${x | x \neq \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}}$ $n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 3.10

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$0 < x < \frac{π}{4}$

$\frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}$

Paso 3.11

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 3.11.1

Prueba un valor en el intervalo $0 < x < \frac{π}{4}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 3.11.1.1

Elije un valor en el intervalo $0 < x < \frac{π}{4}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0.39$

Paso 3.11.1.2

Reemplaza $x$ con $0.39$ en la desigualdad original.

$\tan (2 (0.39)) \geq 0$

Paso 3.11.1.3

$0.98926153$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 3.11.2

Prueba un valor en el intervalo $\frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 3.11.2.1

Elije un valor en el intervalo $\frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 1$

Paso 3.11.2.2

Reemplaza $x$ con $1$ en la desigualdad original.

$\tan (2 (1)) \geq 0$

Paso 3.11.2.3

$- 2.18503986$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 3.11.3

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$0 < x < \frac{π}{4}$ Verdadero

$\frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}$ Falso

$0 < x < \frac{π}{4}$ Verdadero

$\frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}$ Falso

Paso 3.12

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$0 + \frac{π n}{2} \leq x < \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , para cualquier número entero $n$

Paso 4

Establece el argumento en $\tan (2 x)$ igual que $\frac{π}{2} + π n$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$2 x = \frac{π}{2} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 5

Divide cada término en $2 x = \frac{π}{2} + π n$ por $2$ y simplifica.

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Paso 5.1

Divide cada término en $2 x = \frac{π}{2} + π n$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{π n}{2}$

Paso 5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{π n}{2}$

Paso 5.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{π n}{2}$

Paso 5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.1.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{π n}{2}$

Paso 5.3.1.2

Multiplica $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 5.3.1.2.1

Multiplica $\frac{π}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 2} + \frac{π n}{2}$

Paso 5.3.1.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$

Paso 6

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x = 0 + \frac{π n}{2}, x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, x \neq \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}}$

Paso 7

Determina el dominio y el rango.

Dominio: ${x | x = 0 + \frac{π n}{2}, x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, x \neq \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}}$

Rango:

Paso 8