Trigonometría Ejemplos

$(9, 3 \sqrt{3})$

Paso 1

Convierte de coordenadas rectangulares $(x, y)$ a coordenadas polares $(r, θ)$ con las fórmulas de conversión.

$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 2

Reemplaza $x$ y $y$ con los valores reales.

$r = \sqrt{{(9)}^{2} + {(3 \sqrt{3})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3

Obtén la magnitud de la coordenada polar.

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Paso 3.1

Simplifica la expresión.

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Paso 3.1.1

Eleva $9$ a la potencia de $2$ .

$r = \sqrt{81 + {(3 \sqrt{3})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.1.2

Aplica la regla del producto a $3 \sqrt{3}$ .

$r = \sqrt{81 + 3^{2} {\sqrt{3}}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.1.3

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$r = \sqrt{81 + 9 {\sqrt{3}}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{81 + 9 {\sqrt{3}}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.2

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$r = \sqrt{81 + 9 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r = \sqrt{81 + 9 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$r = \sqrt{81 + 9 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.4.1

Cancela el factor común.

$r = \sqrt{81 + 9 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.2.4.2

Reescribe la expresión.

$r = \sqrt{81 + 9 \cdot 3}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{81 + 9 \cdot 3}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.2.5

Evalúa el exponente.

$r = \sqrt{81 + 9 \cdot 3}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{81 + 9 \cdot 3}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.3

Simplifica la expresión.

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Paso 3.3.1

Multiplica $9$ por $3$ .

$r = \sqrt{81 + 27}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.3.2

Suma $81$ y $27$ .

$r = \sqrt{108}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{108}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.4

Reescribe $108$ como $6^{2} \cdot 3$ .

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Paso 3.4.1

Factoriza $36$ de $108$ .

$r = \sqrt{36 (3)}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.4.2

Reescribe $36$ como $6^{2}$ .

$r = \sqrt{6^{2} \cdot 3}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{6^{2} \cdot 3}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.5

Retira los términos de abajo del radical.

$r = 6 \sqrt{3}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = 6 \sqrt{3}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 4

Reemplaza $x$ y $y$ con los valores reales.

$r = 6 \sqrt{3}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{3 \sqrt{3}}{9})$

Paso 5

La inversa de la tangente de $\frac{\sqrt{3}}{3}$ es $θ = 30 °$ .

$r = 6 \sqrt{3}$

$θ = 30 °$

Paso 6

Este es el resultado de la conversión a coordenadas polares en la forma $(r, θ)$ .

$(6 \sqrt{3}, 30 °)$