Trigonometría Ejemplos

$3 < 2 y^{2} + 5 y$

Paso 1

Reescribe para que $y$ quede en el lado izquierdo de la desigualdad.

$2 y^{2} + 5 y > 3$

Paso 2

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$2 y^{2} + 5 y = 3$

Paso 3

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$2 y^{2} + 5 y - 3 = 0$

Paso 4

Factoriza por agrupación.

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Paso 4.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ y cuya suma es $b = 5$ .

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Paso 4.1.1

Factoriza $5$ de $5 y$ .

$2 y^{2} + 5 (y) - 3 = 0$

Paso 4.1.2

Reescribe $5$ como $- 1$ más $6$

$2 y^{2} + (- 1 + 6) y - 3 = 0$

Paso 4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 y^{2} - 1 y + 6 y - 3 = 0$

Paso 4.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 4.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(2 y^{2} - 1 y) + 6 y - 3 = 0$

Paso 4.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$y (2 y - 1) + 3 (2 y - 1) = 0$

Paso 4.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 y - 1$ .

$(2 y - 1) (y + 3) = 0$

Paso 5

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$2 y - 1 = 0$

$y + 3 = 0$

Paso 6

Establece $2 y - 1$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

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Paso 6.1

Establece $2 y - 1$ igual a $0$ .

$2 y - 1 = 0$

Paso 6.2

Resuelve $2 y - 1 = 0$ en $y$ .

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Paso 6.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$2 y = 1$

Paso 6.2.2

Divide cada término en $2 y = 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 6.2.2.1

Divide cada término en $2 y = 1$ por $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 6.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 6.2.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{1}{2}$

Paso 7

Establece $y + 3$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

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Paso 7.1

Establece $y + 3$ igual a $0$ .

$y + 3 = 0$

Paso 7.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$y = - 3$

Paso 8

La solución final comprende todos los valores que hacen $(2 y - 1) (y + 3) = 0$ verdadera.

$y = \frac{1}{2}, - 3$

Paso 9

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$y < - 3$

$- 3 < y < \frac{1}{2}$

$y > \frac{1}{2}$

Paso 10

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 10.1

Prueba un valor en el intervalo $y < - 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.1.1

Elije un valor en el intervalo $y < - 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$y = - 6$

Paso 10.1.2

Reemplaza $y$ con $- 6$ en la desigualdad original.

$3 < 2 {(- 6)}^{2} + 5 (- 6)$

Paso 10.1.3

$3$ del lado izquierdo es menor que $42$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 10.2

Prueba un valor en el intervalo $- 3 < y < \frac{1}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 3 < y < \frac{1}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$y = 0$

Paso 10.2.2

Reemplaza $y$ con $0$ en la desigualdad original.

$3 < 2 {(0)}^{2} + 5 (0)$

Paso 10.2.3

$3$ del lado izquierdo no es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 10.3

Prueba un valor en el intervalo $y > \frac{1}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.3.1

Elije un valor en el intervalo $y > \frac{1}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$y = 3$

Paso 10.3.2

Reemplaza $y$ con $3$ en la desigualdad original.

$3 < 2 {(3)}^{2} + 5 (3)$

Paso 10.3.3

$3$ del lado izquierdo es menor que $33$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 10.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$y < - 3$ Verdadero

$- 3 < y < \frac{1}{2}$ Falso

$y > \frac{1}{2}$ Verdadero

$y < - 3$ Verdadero

$- 3 < y < \frac{1}{2}$ Falso

$y > \frac{1}{2}$ Verdadero

Paso 11

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$y < - 3$ o $y > \frac{1}{2}$

Paso 12

Convierte la desigualdad a notación de intervalo.

$(- \infty, - 3) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$

Paso 13