Trigonometría Ejemplos

$\sin (x) > \cos (x)$

Step 1

Divide cada término en la ecuación por $\cos (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} > \frac{\cos (x)}{\cos (x)}$

Step 2

Convierte de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$\tan (x) > \frac{\cos (x)}{\cos (x)}$

Step 3

Cancela el factor común de $\cos (x)$ .

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Cancela el factor común.

$\tan (x) > \frac{\cos (x)}{\cos (x)}$

Reescribe la expresión.

$\tan (x) > 1$

Step 4

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la tangente.

$x > \arctan (1)$

Step 5

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $\arctan (1)$ es $\frac{π}{4}$ .

$x > \frac{π}{4}$

Step 6

La función tangente es positiva en el primer y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, suma el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = π + \frac{π}{4}$

Step 7

Simplifica $π + \frac{π}{4}$ .

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Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Combina fracciones.

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Combina $π$ y $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Simplifica el numerador.

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Mueve $4$ a la izquierda de $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Suma $4 π$ y $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Step 8

Obtén el período de $\tan (x)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{π}{1}$

Divide $π$ por $1$ .

$π$

Step 9

El período de la función $\tan (x)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 10

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$\frac{π}{4} < x < \frac{5 π}{4}$

$\frac{5 π}{4} < x < \frac{9 π}{4}$

Step 11

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Prueba un valor en el intervalo $\frac{π}{4} < x < \frac{5 π}{4}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Elije un valor en el intervalo $\frac{π}{4} < x < \frac{5 π}{4}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 2$

Reemplaza $x$ con $2$ en la desigualdad original.

$\sin (2) > \cos (2)$

$0.90929742$ del lado izquierdo es mayor que $- 0.41614683$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Prueba un valor en el intervalo $\frac{5 π}{4} < x < \frac{9 π}{4}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Elije un valor en el intervalo $\frac{5 π}{4} < x < \frac{9 π}{4}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 5$

Reemplaza $x$ con $5$ en la desigualdad original.

$\sin (5) > \cos (5)$

$- 0.95892427$ del lado izquierdo no es mayor que $0.28366218$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$\frac{π}{4} < x < \frac{5 π}{4}$ Verdadero

$\frac{5 π}{4} < x < \frac{9 π}{4}$ Falso

$\frac{π}{4} < x < \frac{5 π}{4}$ Verdadero

$\frac{5 π}{4} < x < \frac{9 π}{4}$ Falso

Step 12

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$\frac{π}{4} + π n < x < \frac{5 π}{4} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 13

Convierte la desigualdad a notación de intervalo.

$(\frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n)$

Step 14