Trigonometría Ejemplos

$\sin (\frac{x}{3}) < \frac{\sqrt{3}}{2}$

Step 1

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$\frac{x}{3} < \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Step 2

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ es $\frac{π}{3}$ .

$\frac{x}{3} < \frac{π}{3}$

Step 3

Como la expresión en cada lado de la ecuación tiene el mismo denominador, los numeradores deben ser iguales.

$x < π$

Step 4

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$\frac{x}{3} = π - \frac{π}{3}$

Step 5

Resuelve $x$

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Multiplica ambos lados de la ecuación por $3$ .

$3 \frac{x}{3} = 3 (π - \frac{π}{3})$

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $3$ .

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Cancela el factor común.

$3 \frac{x}{3} = 3 (π - \frac{π}{3})$

Reescribe la expresión.

$x = 3 (π - \frac{π}{3})$

Simplifica el lado derecho.

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Simplifica $3 (π - \frac{π}{3})$ .

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Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$x = 3 (π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3})$

Simplifica los términos.

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Combina $π$ y $\frac{3}{3}$ .

$x = 3 (\frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3})$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = 3 \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Cancela el factor común de $3$ .

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Cancela el factor común.

$x = 3 \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Reescribe la expresión.

$x = π \cdot 3 - π$

Mueve $3$ a la izquierda de $π$ .

$x = 3 π - π$

Resta $π$ de $3 π$ .

$x = 2 π$

Step 6

Obtén el período de $\sin (\frac{x}{3})$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $\frac{1}{3}$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{3} |}$

$\frac{1}{3}$ es aproximadamente $0.\overline{3}$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$\frac{2 π}{\frac{1}{3}}$

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$2 π \cdot 3$

Multiplica $3$ por $2$ .

$6 π$

Step 7

El período de la función $\sin (\frac{x}{3})$ es $6 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $6 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = π + 6 π n, 2 π + 6 π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 8

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$π < x < 2 π$

$2 π < x < 7 π$

$7 π < x < 8 π$

Step 9

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Prueba un valor en el intervalo $π < x < 2 π$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Elije un valor en el intervalo $π < x < 2 π$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 5$

Reemplaza $x$ con $5$ en la desigualdad original.

$\sin (\frac{5}{3}) < \frac{\sqrt{3}}{2}$

$0.99540795$ del lado izquierdo no es menor que $0.8660254$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Prueba un valor en el intervalo $2 π < x < 7 π$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Elije un valor en el intervalo $2 π < x < 7 π$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 9$

Reemplaza $x$ con $9$ en la desigualdad original.

$\sin (\frac{9}{3}) < \frac{\sqrt{3}}{2}$

$0.14112$ del lado izquierdo es menor que $0.8660254$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Prueba un valor en el intervalo $7 π < x < 8 π$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Elije un valor en el intervalo $7 π < x < 8 π$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 24$

Reemplaza $x$ con $24$ en la desigualdad original.

$\sin (\frac{24}{3}) < \frac{\sqrt{3}}{2}$

$0.98935824$ del lado izquierdo no es menor que $0.8660254$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$π < x < 2 π$ Falso

$2 π < x < 7 π$ Verdadero

$7 π < x < 8 π$ Falso

$π < x < 2 π$ Falso

$2 π < x < 7 π$ Verdadero

$7 π < x < 8 π$ Falso

Step 10

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$2 π + 6 π n < x < 7 π + 6 π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 11

Convierte la desigualdad a notación de intervalo.

$(2 π + 6 π n, 7 π + 6 π n)$

Step 12