Trigonometría Ejemplos

$\frac{6}{3 w - 4} > w + 1$

Paso 1

Mueve todas las expresiones al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1

Resta $w$ de ambos lados de la desigualdad.

$\frac{6}{3 w - 4} - w > 1$

Paso 1.2

Resta $1$ de ambos lados de la desigualdad.

$\frac{6}{3 w - 4} - w - 1 > 0$

Paso 2

Simplifica $\frac{6}{3 w - 4} - w - 1$ .

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Paso 2.1

Para escribir $- w$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3 w - 4}{3 w - 4}$ .

$\frac{6}{3 w - 4} - w \cdot \frac{3 w - 4}{3 w - 4} - 1 > 0$

Paso 2.2

Combina $- w$ y $\frac{3 w - 4}{3 w - 4}$ .

$\frac{6}{3 w - 4} + \frac{- w (3 w - 4)}{3 w - 4} - 1 > 0$

Paso 2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{6 - w (3 w - 4)}{3 w - 4} - 1 > 0$

Paso 2.4

Simplifica el numerador.

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Paso 2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{6 - w (3 w) - w \cdot - 4}{3 w - 4} - 1 > 0$

Paso 2.4.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{6 - 1 \cdot 3 w \cdot w - w \cdot - 4}{3 w - 4} - 1 > 0$

Paso 2.4.3

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$\frac{6 - 1 \cdot 3 w \cdot w + 4 w}{3 w - 4} - 1 > 0$

Paso 2.4.4

Simplifica cada término.

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Paso 2.4.4.1

Multiplica $w$ por $w$ sumando los exponentes.

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Paso 2.4.4.1.1

Mueve $w$ .

$\frac{6 - 1 \cdot 3 (w \cdot w) + 4 w}{3 w - 4} - 1 > 0$

Paso 2.4.4.1.2

Multiplica $w$ por $w$ .

$\frac{6 - 1 \cdot 3 w^{2} + 4 w}{3 w - 4} - 1 > 0$

Paso 2.4.4.2

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{6 - 3 w^{2} + 4 w}{3 w - 4} - 1 > 0$

Paso 2.4.5

Reordena los términos.

$\frac{- 3 w^{2} + 4 w + 6}{3 w - 4} - 1 > 0$

Paso 2.5

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3 w - 4}{3 w - 4}$ .

$\frac{- 3 w^{2} + 4 w + 6}{3 w - 4} - 1 \cdot \frac{3 w - 4}{3 w - 4} > 0$

Paso 2.6

Combina $- 1$ y $\frac{3 w - 4}{3 w - 4}$ .

$\frac{- 3 w^{2} + 4 w + 6}{3 w - 4} + \frac{- (3 w - 4)}{3 w - 4} > 0$

Paso 2.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 3 w^{2} + 4 w + 6 - (3 w - 4)}{3 w - 4} > 0$

Paso 2.8

Simplifica el numerador.

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Paso 2.8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 3 w^{2} + 4 w + 6 - (3 w) - - 4}{3 w - 4} > 0$

Paso 2.8.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{- 3 w^{2} + 4 w + 6 - 3 w - - 4}{3 w - 4} > 0$

Paso 2.8.3

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$\frac{- 3 w^{2} + 4 w + 6 - 3 w + 4}{3 w - 4} > 0$

Paso 2.8.4

Resta $3 w$ de $4 w$ .

$\frac{- 3 w^{2} + w + 6 + 4}{3 w - 4} > 0$

Paso 2.8.5

Suma $6$ y $4$ .

$\frac{- 3 w^{2} + w + 10}{3 w - 4} > 0$

Paso 2.8.6

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.8.6.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 3 \cdot 10 = - 30$ y cuya suma es $b = 1$ .

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Paso 2.8.6.1.1

Multiplica por $1$ .

$\frac{- 3 w^{2} + 1 w + 10}{3 w - 4} > 0$

Paso 2.8.6.1.2

Reescribe $1$ como $- 5$ más $6$

$\frac{- 3 w^{2} + (- 5 + 6) w + 10}{3 w - 4} > 0$

Paso 2.8.6.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 3 w^{2} - 5 w + 6 w + 10}{3 w - 4} > 0$

Paso 2.8.6.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.8.6.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(- 3 w^{2} - 5 w) + 6 w + 10}{3 w - 4} > 0$

Paso 2.8.6.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{w (- 3 w - 5) - 2 (- 3 w - 5)}{3 w - 4} > 0$

Paso 2.8.6.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- 3 w - 5$ .

$\frac{(- 3 w - 5) (w - 2)}{3 w - 4} > 0$

Paso 2.9

Factoriza $- 1$ de $- 3 w$ .

$\frac{(- (3 w) - 5) (w - 2)}{3 w - 4} > 0$

Paso 2.10

Reescribe $- 5$ como $- 1 (5)$ .

$\frac{(- (3 w) - 1 (5)) (w - 2)}{3 w - 4} > 0$

Paso 2.11

Factoriza $- 1$ de $- (3 w) - 1 (5)$ .

$\frac{- (3 w + 5) (w - 2)}{3 w - 4} > 0$

Paso 2.12

Reescribe $- (3 w + 5)$ como $- 1 (3 w + 5)$ .

$\frac{- 1 (3 w + 5) (w - 2)}{3 w - 4} > 0$

Paso 2.13

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{(3 w + 5) (w - 2)}{3 w - 4} > 0$

Paso 3

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$3 w + 5 = 0$

$w - 2 = 0$

$3 w - 4 = 0$

Paso 4

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$3 w = - 5$

Paso 5

Divide cada término en $3 w = - 5$ por $3$ y simplifica.

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Paso 5.1

Divide cada término en $3 w = - 5$ por $3$ .

$\frac{3 w}{3} = \frac{- 5}{3}$

Paso 5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 w}{3} = \frac{- 5}{3}$

Paso 5.2.1.2

Divide $w$ por $1$ .

$w = \frac{- 5}{3}$

Paso 5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$w = - \frac{5}{3}$

Paso 6

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$w = 2$

Paso 7

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$3 w = 4$

Paso 8

Divide cada término en $3 w = 4$ por $3$ y simplifica.

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Paso 8.1

Divide cada término en $3 w = 4$ por $3$ .

$\frac{3 w}{3} = \frac{4}{3}$

Paso 8.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 8.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 w}{3} = \frac{4}{3}$

Paso 8.2.1.2

Divide $w$ por $1$ .

$w = \frac{4}{3}$

Paso 9

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$w = - \frac{5}{3}$

$w = 2$

$w = \frac{4}{3}$

Paso 10

Consolida las soluciones.

$w = - \frac{5}{3}, 2, \frac{4}{3}$

Paso 11

Obtén el dominio de $- \frac{(3 w + 5) (w - 2)}{3 w - 4}$ .

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Paso 11.1

Establece el denominador en $\frac{(3 w + 5) (w - 2)}{3 w - 4}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$3 w - 4 = 0$

Paso 11.2

Resuelve $w$

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Paso 11.2.1

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$3 w = 4$

Paso 11.2.2

Divide cada término en $3 w = 4$ por $3$ y simplifica.

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Paso 11.2.2.1

Divide cada término en $3 w = 4$ por $3$ .

$\frac{3 w}{3} = \frac{4}{3}$

Paso 11.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 11.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 11.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 w}{3} = \frac{4}{3}$

Paso 11.2.2.2.1.2

Divide $w$ por $1$ .

$w = \frac{4}{3}$

Paso 11.3

El dominio son todos los valores de $w$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, \frac{4}{3}) \cup (\frac{4}{3}, \infty)$

Paso 12

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$w < - \frac{5}{3}$

$- \frac{5}{3} < w < \frac{4}{3}$

$\frac{4}{3} < w < 2$

$w > 2$

Paso 13

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 13.1

Prueba un valor en el intervalo $w < - \frac{5}{3}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 13.1.1

Elije un valor en el intervalo $w < - \frac{5}{3}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$w = - 4$

Paso 13.1.2

Reemplaza $w$ con $- 4$ en la desigualdad original.

$\frac{6}{3 (- 4) - 4} > (- 4) + 1$

Paso 13.1.3

$- 0.375$ del lado izquierdo es mayor que $- 3$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 13.2

Prueba un valor en el intervalo $- \frac{5}{3} < w < \frac{4}{3}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 13.2.1

Elije un valor en el intervalo $- \frac{5}{3} < w < \frac{4}{3}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$w = 0$

Paso 13.2.2

Reemplaza $w$ con $0$ en la desigualdad original.

$\frac{6}{3 (0) - 4} > (0) + 1$

Paso 13.2.3

$- 1.5$ del lado izquierdo no es mayor que $1$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 13.3

Prueba un valor en el intervalo $\frac{4}{3} < w < 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 13.3.1

Elije un valor en el intervalo $\frac{4}{3} < w < 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$w = 1.67$

Paso 13.3.2

Reemplaza $w$ con $1.67$ en la desigualdad original.

$\frac{6}{3 (1.67) - 4} > (1.67) + 1$

Paso 13.3.3

$5.\overline{9405}$ del lado izquierdo es mayor que $2.67$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 13.4

Prueba un valor en el intervalo $w > 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 13.4.1

Elije un valor en el intervalo $w > 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$w = 4$

Paso 13.4.2

Reemplaza $w$ con $4$ en la desigualdad original.

$\frac{6}{3 (4) - 4} > (4) + 1$

Paso 13.4.3

$0.75$ del lado izquierdo no es mayor que $5$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 13.5

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$w < - \frac{5}{3}$ Verdadero

$- \frac{5}{3} < w < \frac{4}{3}$ Falso

$\frac{4}{3} < w < 2$ Verdadero

$w > 2$ Falso

$w < - \frac{5}{3}$ Verdadero

$- \frac{5}{3} < w < \frac{4}{3}$ Falso

$\frac{4}{3} < w < 2$ Verdadero

$w > 2$ Falso

Paso 14

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$w < - \frac{5}{3}$ o $\frac{4}{3} < w < 2$

Paso 15

Convierte la desigualdad a notación de intervalo.

$(- \infty, - \frac{5}{3}) \cup (\frac{4}{3}, 2)$

Paso 16