Trigonometría Ejemplos

$- 2 x^{2} + 3 x + 5 > 0$

Paso 1

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$- 2 x^{2} + 3 x + 5 = 0$

Paso 2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Factoriza $- 1$ de $- 2 x^{2} + 3 x + 5$ .

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Paso 2.1.1

Factoriza $- 1$ de $- 2 x^{2}$ .

$- (2 x^{2}) + 3 x + 5 = 0$

Paso 2.1.2

Factoriza $- 1$ de $3 x$ .

$- (2 x^{2}) - (- 3 x) + 5 = 0$

Paso 2.1.3

Reescribe $5$ como $- 1 (- 5)$ .

$- (2 x^{2}) - (- 3 x) - 1 \cdot - 5 = 0$

Paso 2.1.4

Factoriza $- 1$ de $- (2 x^{2}) - (- 3 x)$ .

$- (2 x^{2} - 3 x) - 1 \cdot - 5 = 0$

Paso 2.1.5

Factoriza $- 1$ de $- (2 x^{2} - 3 x) - 1 (- 5)$ .

$- (2 x^{2} - 3 x - 5) = 0$

Paso 2.2

Factoriza.

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Paso 2.2.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.2.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot - 5 = - 10$ y cuya suma es $b = - 3$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Factoriza $- 3$ de $- 3 x$ .

$- (2 x^{2} - 3 x - 5) = 0$

Paso 2.2.1.1.2

Reescribe $- 3$ como $2$ más $- 5$

$- (2 x^{2} + (2 - 5) x - 5) = 0$

Paso 2.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- (2 x^{2} + 2 x - 5 x - 5) = 0$

Paso 2.2.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.2.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$- ((2 x^{2} + 2 x) - 5 x - 5) = 0$

Paso 2.2.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$- (2 x (x + 1) - 5 (x + 1)) = 0$

Paso 2.2.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $x + 1$ .

$- ((x + 1) (2 x - 5)) = 0$

Paso 2.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- (x + 1) (2 x - 5) = 0$

Paso 3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

$2 x - 5 = 0$

Paso 4

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 4.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 5

Establece $2 x - 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.1

Establece $2 x - 5$ igual a $0$ .

$2 x - 5 = 0$

Paso 5.2

Resuelve $2 x - 5 = 0$ en $x$ .

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Paso 5.2.1

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x = 5$

Paso 5.2.2

Divide cada término en $2 x = 5$ por $2$ y simplifica.

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Paso 5.2.2.1

Divide cada término en $2 x = 5$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Paso 5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Paso 5.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{5}{2}$

Paso 6

La solución final comprende todos los valores que hacen $- (x + 1) (2 x - 5) = 0$ verdadera.

$x = - 1, \frac{5}{2}$

Paso 7

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 1$

$- 1 < x < \frac{5}{2}$

$x > \frac{5}{2}$

Paso 8

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 8.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 4$

Paso 8.1.2

Reemplaza $x$ con $- 4$ en la desigualdad original.

$- 2 {(- 4)}^{2} + 3 (- 4) + 5 > 0$

Paso 8.1.3

$- 39$ del lado izquierdo no es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 8.2

Prueba un valor en el intervalo $- 1 < x < \frac{5}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 1 < x < \frac{5}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 8.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$- 2 {(0)}^{2} + 3 (0) + 5 > 0$

Paso 8.2.3

$5$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 8.3

Prueba un valor en el intervalo $x > \frac{5}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > \frac{5}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 5$

Paso 8.3.2

Reemplaza $x$ con $5$ en la desigualdad original.

$- 2 {(5)}^{2} + 3 (5) + 5 > 0$

Paso 8.3.3

$- 30$ del lado izquierdo no es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 8.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 1$ Falso

$- 1 < x < \frac{5}{2}$ Verdadero

$x > \frac{5}{2}$ Falso

$x < - 1$ Falso

$- 1 < x < \frac{5}{2}$ Verdadero

$x > \frac{5}{2}$ Falso

Paso 9

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- 1 < x < \frac{5}{2}$

Paso 10

Convierte la desigualdad a notación de intervalo.

$(- 1, \frac{5}{2})$

Paso 11