Trigonometría Ejemplos

$3 x^{6} + 82 x^{3} + 27$

Paso 1

Reescribe $x^{6}$ como ${(x^{3})}^{2}$ .

$3 {(x^{3})}^{2} + 82 x^{3} + 27$

Paso 2

Sea $u = x^{3}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{3}$ .

$3 u^{2} + 82 u + 27$

Paso 3

Factoriza por agrupación.

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Paso 3.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 3 \cdot 27 = 81$ y cuya suma es $b = 82$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $82$ de $82 u$ .

$3 u^{2} + 82 (u) + 27$

Paso 3.1.2

Reescribe $82$ como $1$ más $81$

$3 u^{2} + (1 + 81) u + 27$

Paso 3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$3 u^{2} + 1 u + 81 u + 27$

Paso 3.1.4

Multiplica $u$ por $1$ .

$3 u^{2} + u + 81 u + 27$

Paso 3.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 3.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(3 u^{2} + u) + 81 u + 27$

Paso 3.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$u (3 u + 1) + 27 (3 u + 1)$

Paso 3.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $3 u + 1$ .

$(3 u + 1) (u + 27)$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{3}$ .

$(3 x^{3} + 1) (x^{3} + 27)$

Paso 5

Reescribe $27$ como $3^{3}$ .

$(3 x^{3} + 1) (x^{3} + 3^{3})$

Paso 6

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la suma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

$(3 x^{3} + 1) ((x + 3) (x^{2} - x \cdot 3 + 3^{2}))$

Paso 7

Factoriza.

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Paso 7.1

Simplifica.

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Paso 7.1.1

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$(3 x^{3} + 1) ((x + 3) (x^{2} - 3 x + 3^{2}))$

Paso 7.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$(3 x^{3} + 1) ((x + 3) (x^{2} - 3 x + 9))$

Paso 7.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(3 x^{3} + 1) (x + 3) (x^{2} - 3 x + 9)$