Trigonometría Ejemplos

$2 x^{2} + 7 x^{3} - 8 x^{2} + 5$

Paso 1

Reagrupa los términos.

$- 8 x^{2} + 2 x^{2} + 7 x^{3} + 5$

Paso 2

Reordena los términos.

$- 8 x^{2} + 7 x^{3} + 2 x^{2} + 5$

Paso 3

Factoriza $7 x^{3} + 2 x^{2} + 5$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 3.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 7$

Paso 3.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 0.\overline{142857}, \pm 5, \pm 0.\overline{714285}$

Paso 3.3

Sustituye $- 1$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $- 1$ es una raíz del polinomio.

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Paso 3.3.1

Sustituye $- 1$ en el polinomio.

$7 {(- 1)}^{3} + 2 {(- 1)}^{2} + 5$

Paso 3.3.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$7 \cdot - 1 + 2 {(- 1)}^{2} + 5$

Paso 3.3.3

Multiplica $7$ por $- 1$ .

$- 7 + 2 {(- 1)}^{2} + 5$

Paso 3.3.4

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$- 7 + 2 \cdot 1 + 5$

Paso 3.3.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$- 7 + 2 + 5$

Paso 3.3.6

Suma $- 7$ y $2$ .

$- 5 + 5$

Paso 3.3.7

Suma $- 5$ y $5$ .

$0$

Paso 3.4

Como $- 1$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x + 1$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{7 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{x + 1}$

Paso 3.5

Divide $7 x^{3} + 2 x^{2} + 5$ por $x + 1$ .

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Paso 3.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$1$

$7 x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$5$

Paso 3.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $7 x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$7 x^{2}$
	$x$	+	$1$		$7 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$

Paso 3.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$7 x^{2}$
$x$	+	$1$		$7 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			+	$7 x^{3}$	+	$7 x^{2}$

Paso 3.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $7 x^{3} + 7 x^{2}$ .

				$7 x^{2}$
$x$	+	$1$		$7 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$7 x^{2}$

Paso 3.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$7 x^{2}$
$x$	+	$1$		$7 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$

Paso 3.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$7 x^{2}$
$x$	+	$1$		$7 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$

Paso 3.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 5 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$7 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$1$		$7 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$

Paso 3.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$7 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$1$		$7 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$5 x$

Paso 3.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 5 x^{2} - 5 x$ .

				$7 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$1$		$7 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$

Paso 3.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$7 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$1$		$7 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$5 x$

Paso 3.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$7 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$1$		$7 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$5 x$	+	$5$

Paso 3.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $5 x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$7 x^{2}$	-	$5 x$	+	$5$
$x$	+	$1$		$7 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$5 x$	+	$5$

Paso 3.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$7 x^{2}$	-	$5 x$	+	$5$
$x$	+	$1$		$7 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$5 x$	+	$5$
							+	$5 x$	+	$5$

Paso 3.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $5 x + 5$ .

				$7 x^{2}$	-	$5 x$	+	$5$
$x$	+	$1$		$7 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$5 x$	+	$5$
							-	$5 x$	-	$5$

Paso 3.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$7 x^{2}$	-	$5 x$	+	$5$
$x$	+	$1$		$7 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$5 x$	+	$5$
							-	$5 x$	-	$5$
										$0$

Paso 3.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$7 x^{2} - 5 x + 5$

Paso 3.6

Escribe $7 x^{3} + 2 x^{2} + 5$ como un conjunto de factores.

$- 8 x^{2} + (x + 1) (7 x^{2} - 5 x + 5)$

Paso 4

Factoriza $- 1$ de $- 8 x^{2} + (x + 1) (7 x^{2} - 5 x + 5)$ .

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Paso 4.1

Reordena $- 8 x^{2}$ y $(x + 1) (7 x^{2} - 5 x + 5)$ .

$(x + 1) (7 x^{2} - 5 x + 5) - 8 x^{2}$

Paso 4.2

Factoriza $- 1$ de $(x + 1) (7 x^{2} - 5 x + 5)$ .

$- ((- x - 1) (7 x^{2} - 5 x + 5)) - 8 x^{2}$

Paso 4.3

Factoriza $- 1$ de $- 8 x^{2}$ .

$- ((- x - 1) (7 x^{2} - 5 x + 5)) - (8 x^{2})$

Paso 4.4

Factoriza $- 1$ de $- ((- x - 1) (7 x^{2} - 5 x + 5)) - (8 x^{2})$ .

$- ((- x - 1) (7 x^{2} - 5 x + 5) + 8 x^{2})$

Paso 5

Expande $(- x - 1) (7 x^{2} - 5 x + 5)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$- (- x (7 x^{2}) - x (- 5 x) - x \cdot 5 - 1 (7 x^{2}) - 1 (- 5 x) - 1 \cdot 5 + 8 x^{2})$

Paso 6

Simplifica cada término.

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Paso 6.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- (- 1 \cdot 7 x \cdot x^{2} - x (- 5 x) - x \cdot 5 - 1 (7 x^{2}) - 1 (- 5 x) - 1 \cdot 5 + 8 x^{2})$

Paso 6.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.2.1

Mueve $x^{2}$ .

$- (- 1 \cdot 7 (x^{2} x) - x (- 5 x) - x \cdot 5 - 1 (7 x^{2}) - 1 (- 5 x) - 1 \cdot 5 + 8 x^{2})$

Paso 6.2.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 6.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- (- 1 \cdot 7 (x^{2} x^{1}) - x (- 5 x) - x \cdot 5 - 1 (7 x^{2}) - 1 (- 5 x) - 1 \cdot 5 + 8 x^{2})$

Paso 6.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- (- 1 \cdot 7 x^{2 + 1} - x (- 5 x) - x \cdot 5 - 1 (7 x^{2}) - 1 (- 5 x) - 1 \cdot 5 + 8 x^{2})$

Paso 6.2.3

Suma $2$ y $1$ .

$- (- 1 \cdot 7 x^{3} - x (- 5 x) - x \cdot 5 - 1 (7 x^{2}) - 1 (- 5 x) - 1 \cdot 5 + 8 x^{2})$

Paso 6.3

Multiplica $- 1$ por $7$ .

$- (- 7 x^{3} - x (- 5 x) - x \cdot 5 - 1 (7 x^{2}) - 1 (- 5 x) - 1 \cdot 5 + 8 x^{2})$

Paso 6.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- (- 7 x^{3} - 1 \cdot - 5 x \cdot x - x \cdot 5 - 1 (7 x^{2}) - 1 (- 5 x) - 1 \cdot 5 + 8 x^{2})$

Paso 6.5

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 6.5.1

Mueve $x$ .

$- (- 7 x^{3} - 1 \cdot - 5 (x \cdot x) - x \cdot 5 - 1 (7 x^{2}) - 1 (- 5 x) - 1 \cdot 5 + 8 x^{2})$

Paso 6.5.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$- (- 7 x^{3} - 1 \cdot - 5 x^{2} - x \cdot 5 - 1 (7 x^{2}) - 1 (- 5 x) - 1 \cdot 5 + 8 x^{2})$

Paso 6.6

Multiplica $- 1$ por $- 5$ .

$- (- 7 x^{3} + 5 x^{2} - x \cdot 5 - 1 (7 x^{2}) - 1 (- 5 x) - 1 \cdot 5 + 8 x^{2})$

Paso 6.7

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$- (- 7 x^{3} + 5 x^{2} - 5 x - 1 (7 x^{2}) - 1 (- 5 x) - 1 \cdot 5 + 8 x^{2})$

Paso 6.8

Multiplica $7$ por $- 1$ .

$- (- 7 x^{3} + 5 x^{2} - 5 x - 7 x^{2} - 1 (- 5 x) - 1 \cdot 5 + 8 x^{2})$

Paso 6.9

Multiplica $- 5$ por $- 1$ .

$- (- 7 x^{3} + 5 x^{2} - 5 x - 7 x^{2} + 5 x - 1 \cdot 5 + 8 x^{2})$

Paso 6.10

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$- (- 7 x^{3} + 5 x^{2} - 5 x - 7 x^{2} + 5 x - 5 + 8 x^{2})$

Paso 7

Combina los términos opuestos en $- 7 x^{3} + 5 x^{2} - 5 x - 7 x^{2} + 5 x - 5$ .

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Paso 7.1

Suma $- 5 x$ y $5 x$ .

$- (- 7 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x^{2} + 0 - 5 + 8 x^{2})$

Paso 7.2

Suma $- 7 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x^{2}$ y $0$ .

$- (- 7 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x^{2} - 5 + 8 x^{2})$

Paso 8

Resta $7 x^{2}$ de $5 x^{2}$ .

$- (- 7 x^{3} - 2 x^{2} - 5 + 8 x^{2})$

Paso 9

Suma $- 2 x^{2}$ y $8 x^{2}$ .

$- (- 7 x^{3} + 6 x^{2} - 5)$

Paso 10

Factoriza.

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Paso 10.1

Factoriza $- 1$ de $- 7 x^{3} + 6 x^{2} - 5$ .

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Paso 10.1.1

Factoriza $- 1$ de $- 7 x^{3}$ .

$- (- (7 x^{3}) + 6 x^{2} - 5)$

Paso 10.1.2

Factoriza $- 1$ de $6 x^{2}$ .

$- (- (7 x^{3}) - (- 6 x^{2}) - 5)$

Paso 10.1.3

Reescribe $- 5$ como $- 1 (5)$ .

$- (- (7 x^{3}) - (- 6 x^{2}) - 1 (5))$

Paso 10.1.4

Factoriza $- 1$ de $- (7 x^{3}) - (- 6 x^{2})$ .

$- (- (7 x^{3} - 6 x^{2}) - 1 (5))$

Paso 10.1.5

Factoriza $- 1$ de $- (7 x^{3} - 6 x^{2}) - 1 (5)$ .

$- - (7 x^{3} - 6 x^{2} + 5)$

Paso 10.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- - 1 (7 x^{3} - 6 x^{2} + 5)$

Paso 11

Combina exponentes.

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Paso 11.1

Factoriza el negativo.

$- - (7 x^{3} - 6 x^{2} + 5)$

Paso 11.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 (7 x^{3} - 6 x^{2} + 5)$

Paso 11.3

Multiplica $7 x^{3} - 6 x^{2} + 5$ por $1$ .

$7 x^{3} - 6 x^{2} + 5$