Trigonometría Ejemplos

$12 x^{3} + 16 x^{2} - 5 x - 3$

Paso 1

Factoriza $12 x^{3} + 16 x^{2} - 5 x - 3$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 1.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

Paso 1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 0.08\overline{3}, \pm 0.5, \pm 0.1\overline{6}, \pm 0.\overline{3}, \pm 0.25, \pm 3, \pm 1.5, \pm 0.75$

Paso 1.3

Sustituye $- 0.\overline{3}$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $- 0.\overline{3}$ es una raíz del polinomio.

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Paso 1.3.1

Sustituye $- 0.\overline{3}$ en el polinomio.

$12 {(- 0.\overline{3})}^{3} + 16 {(- 0.\overline{3})}^{2} - 5 \cdot - 0.\overline{3} - 3$

Paso 1.3.2

Eleva $- 0.\overline{3}$ a la potencia de $3$ .

$12 \cdot - 0.\overline{037} + 16 {(- 0.\overline{3})}^{2} - 5 \cdot - 0.\overline{3} - 3$

Paso 1.3.3

Multiplica $12$ por $- 0.\overline{037}$ .

$- 0.\overline{4} + 16 {(- 0.\overline{3})}^{2} - 5 \cdot - 0.\overline{3} - 3$

Paso 1.3.4

Eleva $- 0.\overline{3}$ a la potencia de $2$ .

$- 0.\overline{4} + 16 \cdot 0.\overline{1} - 5 \cdot - 0.\overline{3} - 3$

Paso 1.3.5

Multiplica $16$ por $0.\overline{1}$ .

$- 0.\overline{4} + 1.\overline{7} - 5 \cdot - 0.\overline{3} - 3$

Paso 1.3.6

Suma $- 0.\overline{4}$ y $1.\overline{7}$ .

$1.\overline{3} - 5 \cdot - 0.\overline{3} - 3$

Paso 1.3.7

Multiplica $- 5$ por $- 0.\overline{3}$ .

$1.\overline{3} + 1.\overline{6} - 3$

Paso 1.3.8

Suma $1.\overline{3}$ y $1.\overline{6}$ .

$3 - 3$

Paso 1.3.9

Resta $3$ de $3$ .

$0$

Paso 1.4

Como $- 0.\overline{3}$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $3 x + 1$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{12 x^{3} + 16 x^{2} - 5 x - 3}{3 x + 1}$

Paso 1.5

Divide $12 x^{3} + 16 x^{2} - 5 x - 3$ por $3 x + 1$ .

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Paso 1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$3 x$

$1$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

$5 x$

$3$

Paso 1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $12 x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $3 x$ .

					$4 x^{2}$
	$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$

Paso 1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$4 x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			+	$12 x^{3}$	+	$4 x^{2}$

Paso 1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $12 x^{3} + 4 x^{2}$ .

				$4 x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$

Paso 1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$4 x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$

Paso 1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$4 x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$5 x$

Paso 1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $12 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $3 x$ .

				$4 x^{2}$	+	$4 x$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$5 x$

Paso 1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$4 x^{2}$	+	$4 x$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$5 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$4 x$

Paso 1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $12 x^{2} + 4 x$ .

				$4 x^{2}$	+	$4 x$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$12 x^{2}$	-	$4 x$

Paso 1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$4 x^{2}$	+	$4 x$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$12 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$9 x$

Paso 1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$4 x^{2}$	+	$4 x$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$12 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$9 x$	-	$3$

Paso 1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 9 x$ por el término de mayor orden en el divisor $3 x$ .

				$4 x^{2}$	+	$4 x$	-	$3$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$12 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$9 x$	-	$3$

Paso 1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$4 x^{2}$	+	$4 x$	-	$3$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$12 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$9 x$	-	$3$
							-	$9 x$	-	$3$

Paso 1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 9 x - 3$ .

				$4 x^{2}$	+	$4 x$	-	$3$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$12 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$9 x$	-	$3$
							+	$9 x$	+	$3$

Paso 1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$4 x^{2}$	+	$4 x$	-	$3$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$12 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$9 x$	-	$3$
							+	$9 x$	+	$3$
										$0$

Paso 1.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$4 x^{2} + 4 x - 3$

Paso 1.6

Escribe $12 x^{3} + 16 x^{2} - 5 x - 3$ como un conjunto de factores.

$(3 x + 1) (4 x^{2} + 4 x - 3)$

Paso 2

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 4 \cdot - 3 = - 12$ y cuya suma es $b = 4$ .

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Paso 2.1.1.1

Factoriza $4$ de $4 x$ .

$(3 x + 1) (4 x^{2} + 4 (x) - 3)$

Paso 2.1.1.2

Reescribe $4$ como $- 2$ más $6$

$(3 x + 1) (4 x^{2} + (- 2 + 6) x - 3)$

Paso 2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(3 x + 1) (4 x^{2} - 2 x + 6 x - 3)$

Paso 2.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(3 x + 1) ((4 x^{2} - 2 x) + 6 x - 3)$

Paso 2.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$(3 x + 1) (2 x (2 x - 1) + 3 (2 x - 1))$

Paso 2.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 x - 1$ .

$(3 x + 1) ((2 x - 1) (2 x + 3))$

Paso 2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(3 x + 1) (2 x - 1) (2 x + 3)$