Trigonometría Ejemplos

$\tan (\frac{13 π}{12})$

Step 1

Primero, divide el ángulo en dos ángulos donde se conozcan los valores de las seis funciones trigonométricas. En este caso, $\frac{13 π}{12}$ se puede dividir en $\frac{3 π}{4} + \frac{π}{3}$ .

$\tan (\frac{3 π}{4} + \frac{π}{3})$

Step 2

Usa la fórmula de suma para la tangente para simplificar la expresión. La fórmula establece que $\tan (A + B) = \frac{\tan (A) + \tan (B)}{1 - \tan (A) \tan (B)}$ .

$\frac{\tan (\frac{3 π}{4}) + \tan (\frac{π}{3})}{1 - \tan (\frac{3 π}{4}) \tan (\frac{π}{3})}$

Step 3

Simplifica el numerador.

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Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque la tangente es negativa en el segundo cuadrante.

$\frac{- \tan (\frac{π}{4}) + \tan (\frac{π}{3})}{1 - \tan (\frac{3 π}{4}) \tan (\frac{π}{3})}$

El valor exacto de $\tan (\frac{π}{4})$ es $1$ .

$\frac{- 1 \cdot 1 + \tan (\frac{π}{3})}{1 - \tan (\frac{3 π}{4}) \tan (\frac{π}{3})}$

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{- 1 + \tan (\frac{π}{3})}{1 - \tan (\frac{3 π}{4}) \tan (\frac{π}{3})}$

El valor exacto de $\tan (\frac{π}{3})$ es $\sqrt{3}$ .

$\frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 - \tan (\frac{3 π}{4}) \tan (\frac{π}{3})}$

Step 4

Simplifica el denominador.

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$\frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 - - \tan (\frac{π}{4}) \tan (\frac{π}{3})}$

El valor exacto de $\tan (\frac{π}{4})$ es $1$ .

$\frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 - (- 1 \cdot 1) \tan (\frac{π}{3})}$

Multiplica $- (- 1 \cdot 1)$ .

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Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 - - 1 \tan (\frac{π}{3})}$

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 + 1 \tan (\frac{π}{3})}$

Multiplica $\tan (\frac{π}{3})$ por $1$ .

$\frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 + \tan (\frac{π}{3})}$

El valor exacto de $\tan (\frac{π}{3})$ es $\sqrt{3}$ .

$\frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}$

Step 5

Multiplica $\frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}$ por $\frac{1 - \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$ .

$\frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}} \cdot \frac{1 - \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$

Step 6

Combina fracciones.

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Multiplica $\frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}$ por $\frac{1 - \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$ .

$\frac{(- 1 + \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})}{(1 + \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})}$

Expande el denominador con el método PEIU.

$\frac{(- 1 + \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})}{1 - \sqrt{3} + \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}$

Simplifica.

$\frac{(- 1 + \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

Step 7

Simplifica el numerador.

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Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{(- 1 (1) + \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

Factoriza $- 1$ de $\sqrt{3}$ .

$\frac{(- 1 (1) - 1 (- \sqrt{3})) (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

Factoriza $- 1$ de $- 1 (1) - 1 (- \sqrt{3})$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

Eleva $1 - \sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- 1 ({(1 - \sqrt{3})}^{1} (1 - \sqrt{3}))}{- 2}$

Eleva $1 - \sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- 1 ({(1 - \sqrt{3})}^{1} {(1 - \sqrt{3})}^{1})}{- 2}$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- 1 {(1 - \sqrt{3})}^{1 + 1}}{- 2}$

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{- 1 {(1 - \sqrt{3})}^{2}}{- 2}$

Step 8

Reescribe ${(1 - \sqrt{3})}^{2}$ como $(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})$ .

$\frac{- 1 ((1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3}))}{- 2}$

Step 9

Expande $(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 1 (1 (1 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (1 - \sqrt{3}))}{- 2}$

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 1 (1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (1 - \sqrt{3}))}{- 2}$

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 1 (1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3}))}{- 2}$

Step 10

Simplifica y combina los términos similares.

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Simplifica cada término.

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Multiplica $1$ por $1$ .

$\frac{- 1 (1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3}))}{- 2}$

Multiplica $- \sqrt{3}$ por $1$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3}))}{- 2}$

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3}))}{- 2}$

Multiplica $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

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Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3})}{- 2}$

Multiplica $\sqrt{3}$ por $1$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3})}{- 2}$

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}{- 2}$

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}{- 2}$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1})}{- 2}$

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2})}{- 2}$

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2})}{- 2}$

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{- 2}$

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}})}{- 2}$

Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}})}{- 2}$

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{1})}{- 2}$

Evalúa el exponente.

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3)}{- 2}$

Suma $1$ y $3$ .

$\frac{- 1 (4 - \sqrt{3} - \sqrt{3})}{- 2}$

Resta $\sqrt{3}$ de $- \sqrt{3}$ .

$\frac{- 1 (4 - 2 \sqrt{3})}{- 2}$

Step 11

Cancela el factor común de $4 - 2 \sqrt{3}$ y $- 2$ .

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Factoriza $2$ de $- 1 (4 - 2 \sqrt{3})$ .

$\frac{2 (- 1 (2 - \sqrt{3}))}{- 2}$

Mueve el negativo del denominador de $\frac{- 1 (2 - \sqrt{3})}{- 1}$ .

$- 1 \cdot (- 1 (2 - \sqrt{3}))$

Step 12

Reescribe $- 1 \cdot (- 1 (2 - \sqrt{3}))$ como $- (- 1 (2 - \sqrt{3}))$ .

$- (- 1 (2 - \sqrt{3}))$

Step 13

Aplica la propiedad distributiva.

$- (- 1 \cdot 2 - 1 (- \sqrt{3}))$

Step 14

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- (- 2 - 1 (- \sqrt{3}))$

Step 15

Multiplica $- 1 (- \sqrt{3})$ .

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Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- (- 2 + 1 \sqrt{3})$

Multiplica $\sqrt{3}$ por $1$ .

$- (- 2 + \sqrt{3})$

Step 16

Aplica la propiedad distributiva.

$- - 2 - \sqrt{3}$

Step 17

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$2 - \sqrt{3}$

Step 18

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$2 - \sqrt{3}$

Forma decimal:

$0.26794919 \dots$