Trigonometría Ejemplos

$\frac{\cos (t)}{1 + \sin (t)} + \frac{1 + \sin (t)}{\cos (t)} = 2 \sec (t)$

Step 1

Comienza por el lado izquierdo.

$\frac{\cos (t)}{1 + \sin (t)} + \frac{1 + \sin (t)}{\cos (t)}$

Step 2

Simplifica la expresión.

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Para escribir $\frac{\cos (t)}{1 + \sin (t)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{\cos (t)}{\cos (t)}$ .

$\frac{\cos (t)}{1 + \sin (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\cos (t)} + \frac{1 + \sin (t)}{\cos (t)}$

Para escribir $\frac{1 + \sin (t)}{\cos (t)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{1 + \sin (t)}{1 + \sin (t)}$ .

$\frac{\cos (t)}{1 + \sin (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\cos (t)} + \frac{1 + \sin (t)}{\cos (t)} \cdot \frac{1 + \sin (t)}{1 + \sin (t)}$

Escribe cada expresión con un denominador común de $(1 + \sin (t)) \cos (t)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Multiplica $\frac{\cos (t)}{1 + \sin (t)}$ por $\frac{\cos (t)}{\cos (t)}$ .

$\frac{\cos (t) \cos (t)}{(1 + \sin (t)) \cos (t)} + \frac{1 + \sin (t)}{\cos (t)} \cdot \frac{1 + \sin (t)}{1 + \sin (t)}$

Multiplica $\frac{1 + \sin (t)}{\cos (t)}$ por $\frac{1 + \sin (t)}{1 + \sin (t)}$ .

$\frac{\cos (t) \cos (t)}{(1 + \sin (t)) \cos (t)} + \frac{(1 + \sin (t)) (1 + \sin (t))}{\cos (t) (1 + \sin (t))}$

Reordena los factores de $(1 + \sin (t)) \cos (t)$ .

$\frac{\cos (t) \cos (t)}{\cos (t) (1 + \sin (t))} + \frac{(1 + \sin (t)) (1 + \sin (t))}{\cos (t) (1 + \sin (t))}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\cos (t) \cos (t) + (1 + \sin (t)) (1 + \sin (t))}{\cos (t) (1 + \sin (t))}$

Simplifica el numerador.

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Multiplica $\cos (t) \cos (t)$ .

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Eleva $\cos (t)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\cos^{1} (t) \cos (t) + (1 + \sin (t)) (1 + \sin (t))}{\cos (t) (1 + \sin (t))}$

Eleva $\cos (t)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\cos^{1} (t) \cos^{1} (t) + (1 + \sin (t)) (1 + \sin (t))}{\cos (t) (1 + \sin (t))}$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{{\cos (t)}^{1 + 1} + (1 + \sin (t)) (1 + \sin (t))}{\cos (t) (1 + \sin (t))}$

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\cos^{2} (t) + (1 + \sin (t)) (1 + \sin (t))}{\cos (t) (1 + \sin (t))}$

Expande $(1 + \sin (t)) (1 + \sin (t))$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\cos^{2} (t) + 1 (1 + \sin (t)) + \sin (t) (1 + \sin (t))}{\cos (t) (1 + \sin (t))}$

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\cos^{2} (t) + 1 \cdot 1 + 1 \sin (t) + \sin (t) (1 + \sin (t))}{\cos (t) (1 + \sin (t))}$

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\cos^{2} (t) + 1 \cdot 1 + 1 \sin (t) + \sin (t) \cdot 1 + \sin (t) \sin (t)}{\cos (t) (1 + \sin (t))}$

Simplifica y combina los términos similares.

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Simplifica cada término.

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Multiplica $1$ por $1$ .

$\frac{\cos^{2} (t) + 1 + 1 \sin (t) + \sin (t) \cdot 1 + \sin (t) \sin (t)}{\cos (t) (1 + \sin (t))}$

Multiplica $\sin (t)$ por $1$ .

$\frac{\cos^{2} (t) + 1 + \sin (t) + \sin (t) \cdot 1 + \sin (t) \sin (t)}{\cos (t) (1 + \sin (t))}$

Multiplica $\sin (t)$ por $1$ .

$\frac{\cos^{2} (t) + 1 + \sin (t) + \sin (t) + \sin (t) \sin (t)}{\cos (t) (1 + \sin (t))}$

Multiplica $\sin (t) \sin (t)$ .

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Eleva $\sin (t)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\cos^{2} (t) + 1 + \sin (t) + \sin (t) + \sin^{1} (t) \sin (t)}{\cos (t) (1 + \sin (t))}$

Eleva $\sin (t)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\cos^{2} (t) + 1 + \sin (t) + \sin (t) + \sin^{1} (t) \sin^{1} (t)}{\cos (t) (1 + \sin (t))}$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\cos^{2} (t) + 1 + \sin (t) + \sin (t) + {\sin (t)}^{1 + 1}}{\cos (t) (1 + \sin (t))}$

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\cos^{2} (t) + 1 + \sin (t) + \sin (t) + \sin^{2} (t)}{\cos (t) (1 + \sin (t))}$

Suma $\sin (t)$ y $\sin (t)$ .

$\frac{\cos^{2} (t) + 1 + 2 \sin (t) + \sin^{2} (t)}{\cos (t) (1 + \sin (t))}$

Reescribe $\cos^{2} (t) + 1 + 2 \sin (t) + \sin^{2} (t)$ en forma factorizada.

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Reagrupa los términos.

$\frac{\cos^{2} (t) + \sin^{2} (t) + 1 + 2 \sin (t)}{\cos (t) (1 + \sin (t))}$

Reorganiza los términos.

$\frac{\sin^{2} (t) + \cos^{2} (t) + 1 + 2 \sin (t)}{\cos (t) (1 + \sin (t))}$

Aplica la identidad pitagórica.

$\frac{1 + 1 + 2 \sin (t)}{\cos (t) (1 + \sin (t))}$

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2 + 2 \sin (t)}{\cos (t) (1 + \sin (t))}$

Factoriza $2$ de $2 + 2 \sin (t)$ .

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Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 1 + 2 \sin (t)}{\cos (t) (1 + \sin (t))}$

Factoriza $2$ de $2 \cdot 1 + 2 \sin (t)$ .

$\frac{2 (1 + \sin (t))}{\cos (t) (1 + \sin (t))}$

Cancela el factor común de $1 + \sin (t)$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{2 (1 + \sin (t))}{\cos (t) (1 + \sin (t))}$

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{\cos (t)}$

Step 3

Reescribe $\frac{2}{\cos (t)}$ como $2 \sec (t)$ .

$2 \sec (t)$

Step 4

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$\frac{\cos (t)}{1 + \sin (t)} + \frac{1 + \sin (t)}{\cos (t)} = 2 \sec (t)$ es una identidad