Trigonometría Ejemplos

$\frac{1}{\sin (x) + 1} + \frac{1}{\csc (x) + 1} = 1$

Step 1

Comienza por el lado izquierdo.

$\frac{1}{\sin (x) + 1} + \frac{1}{\csc (x) + 1}$

Step 2

Aplica la identidad recíproca a $\csc (x)$ .

$\frac{1}{\sin (x) + 1} + \frac{1}{\frac{1}{\sin (x)} + 1}$

Step 3

Simplifica.

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Simplifica cada término.

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Simplifica el denominador.

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Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{1}{\sin (x) + 1} + \frac{1}{\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\sin (x)}{\sin (x)}}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{\sin (x) + 1} + \frac{1}{\frac{1 + \sin (x)}{\sin (x)}}$

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{1}{\sin (x) + 1} + 1 \frac{\sin (x)}{1 + \sin (x)}$

Multiplica $\frac{\sin (x)}{1 + \sin (x)}$ por $1$ .

$\frac{1}{\sin (x) + 1} + \frac{\sin (x)}{1 + \sin (x)}$

Para escribir $\frac{1}{\sin (x) + 1}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$ .

$\frac{1}{\sin (x) + 1} \cdot \frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)} + \frac{\sin (x)}{1 + \sin (x)}$

Para escribir $\frac{\sin (x)}{1 + \sin (x)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{\sin (x) + 1}{\sin (x) + 1}$ .

$\frac{1}{\sin (x) + 1} \cdot \frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)} + \frac{\sin (x)}{1 + \sin (x)} \cdot \frac{\sin (x) + 1}{\sin (x) + 1}$

Escribe cada expresión con un denominador común de $(\sin (x) + 1) (1 + \sin (x))$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Multiplica $\frac{1}{\sin (x) + 1}$ por $\frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$ .

$\frac{1 + \sin (x)}{(\sin (x) + 1) (1 + \sin (x))} + \frac{\sin (x)}{1 + \sin (x)} \cdot \frac{\sin (x) + 1}{\sin (x) + 1}$

Multiplica $\frac{\sin (x)}{1 + \sin (x)}$ por $\frac{\sin (x) + 1}{\sin (x) + 1}$ .

$\frac{1 + \sin (x)}{(\sin (x) + 1) (1 + \sin (x))} + \frac{\sin (x) (\sin (x) + 1)}{(1 + \sin (x)) (\sin (x) + 1)}$

Reordena los factores de $(\sin (x) + 1) (1 + \sin (x))$ .

$\frac{1 + \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (\sin (x) + 1)} + \frac{\sin (x) (\sin (x) + 1)}{(1 + \sin (x)) (\sin (x) + 1)}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1 + \sin (x) + \sin (x) (\sin (x) + 1)}{(1 + \sin (x)) (\sin (x) + 1)}$

Simplifica el numerador.

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Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 + \sin (x) + \sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cdot 1}{(1 + \sin (x)) (\sin (x) + 1)}$

Multiplica $\sin (x) \sin (x)$ .

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Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1 + \sin (x) + {\sin (x)}^{1} \sin (x) + \sin (x) \cdot 1}{(1 + \sin (x)) (\sin (x) + 1)}$

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1 + \sin (x) + {\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1} + \sin (x) \cdot 1}{(1 + \sin (x)) (\sin (x) + 1)}$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1 + \sin (x) + {\sin (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \cdot 1}{(1 + \sin (x)) (\sin (x) + 1)}$

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1 + \sin (x) + {\sin (x)}^{2} + \sin (x) \cdot 1}{(1 + \sin (x)) (\sin (x) + 1)}$

Multiplica $\sin (x)$ por $1$ .

$\frac{1 + \sin (x) + {\sin (x)}^{2} + \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (\sin (x) + 1)}$

Suma $\sin (x)$ y $\sin (x)$ .

$\frac{1 + {\sin (x)}^{2} + 2 \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (\sin (x) + 1)}$

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Reorganiza los términos.

$\frac{1 + 2 \sin (x) + {\sin (x)}^{2}}{(1 + \sin (x)) (\sin (x) + 1)}$

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{1^{2} + 2 \sin (x) + {\sin (x)}^{2}}{(1 + \sin (x)) (\sin (x) + 1)}$

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$2 \sin (x) = 2 \cdot 1 \cdot \sin (x)$

Reescribe el polinomio.

$\frac{1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot \sin (x) + {\sin (x)}^{2}}{(1 + \sin (x)) (\sin (x) + 1)}$

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = 1$ y $b = \sin (x)$ .

$\frac{{(1 + \sin (x))}^{2}}{(1 + \sin (x)) (\sin (x) + 1)}$

Cancela el factor común de ${(1 + \sin (x))}^{2}$ y $1 + \sin (x)$ .

$\frac{1 + \sin (x)}{\sin (x) + 1}$

Step 4

Cancela el factor común de $1 + \sin (x)$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$

Reescribe la expresión.

$1$

Step 5

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$\frac{1}{\sin (x) + 1} + \frac{1}{\csc (x) + 1} = 1$ es una identidad