Trigonometría Ejemplos

$\frac{1}{\sec (x) - \cos (x)} = \cot (x) \csc (x)$

Step 1

Comienza por el lado izquierdo.

$\frac{1}{\sec (x) - \cos (x)}$

Step 2

Aplica la identidad recíproca a $\sec (x)$ .

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x)}$

Step 3

Simplifica.

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Simplifica el denominador.

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Para escribir $- \cos (x)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x) \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)}}$

Combina $- \cos (x)$ y $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{- \cos (x) \cos (x)}{\cos (x)}}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{\frac{1 - \cos (x) \cos (x)}{\cos (x)}}$

Simplifica el numerador.

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Multiplica $- \cos (x) \cos (x)$ .

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Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{\frac{1 - ({\cos (x)}^{1} \cos (x))}{\cos (x)}}$

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{\frac{1 - ({\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1})}{\cos (x)}}$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{\frac{1 - {\cos (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)}}$

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1}{\frac{1 - {\cos (x)}^{2}}{\cos (x)}}$

Reescribe $1 - {\cos (x)}^{2}$ en forma factorizada.

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Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{1}{\frac{1^{2} - {\cos (x)}^{2}}{\cos (x)}}$

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = \cos (x)$ .

$\frac{1}{\frac{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{\cos (x)}}$

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$1 \frac{\cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Multiplica $\frac{\cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$ por $1$ .

$\frac{\cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Step 4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\cos (x)}{(1 + \cos (x)) \cdot 1 + (1 + \cos (x)) (- \cos (x))}$

Step 5

Simplifica.

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Simplifica cada término.

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Multiplica $1 + \cos (x)$ por $1$ .

$\frac{\cos (x)}{1 + \cos (x) + (1 + \cos (x)) (- \cos (x))}$

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\cos (x)}{1 + \cos (x) + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) (- \cos (x))}$

Multiplica $- \cos (x)$ por $1$ .

$\frac{\cos (x)}{1 + \cos (x) - \cos (x) + \cos (x) (- \cos (x))}$

Multiplica $\cos (x) (- \cos (x))$ .

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Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\cos (x)}{1 + \cos (x) - \cos (x) - ({\cos (x)}^{1} \cos (x))}$

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\cos (x)}{1 + \cos (x) - \cos (x) - ({\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1})}$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\cos (x)}{1 + \cos (x) - \cos (x) - {\cos (x)}^{1 + 1}}$

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\cos (x)}{1 + \cos (x) - \cos (x) - {\cos (x)}^{2}}$

Resta $\cos (x)$ de $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{1 + 0 - {\cos (x)}^{2}}$

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{\cos (x)}{1 - \cos^{2} (x)}$

Step 6

Aplica la identidad pitagórica.

$\frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Step 7

Reescribe $\frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)}$ como $\cot (x) \csc (x)$ .

$\cot (x) \csc (x)$

Step 8

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$\frac{1}{\sec (x) - \cos (x)} = \cot (x) \csc (x)$ es una identidad