Trigonometría Ejemplos

$\frac{1}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{1}{\sec (x) - \tan (x)} = 2 \sec (x)$

Step 1

Comienza por el lado izquierdo.

$\frac{1}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{1}{\sec (x) - \tan (x)}$

Step 2

Suma fracciones.

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Para escribir $\frac{1}{\sec (x) + \tan (x)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{\sec (x) - \tan (x)}{\sec (x) - \tan (x)}$ .

$\frac{1}{\sec (x) + \tan (x)} \cdot \frac{\sec (x) - \tan (x)}{\sec (x) - \tan (x)} + \frac{1}{\sec (x) - \tan (x)}$

Para escribir $\frac{1}{\sec (x) - \tan (x)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{\sec (x) + \tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$ .

$\frac{1}{\sec (x) + \tan (x)} \cdot \frac{\sec (x) - \tan (x)}{\sec (x) - \tan (x)} + \frac{1}{\sec (x) - \tan (x)} \cdot \frac{\sec (x) + \tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$

Escribe cada expresión con un denominador común de $(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Multiplica $\frac{1}{\sec (x) + \tan (x)}$ por $\frac{\sec (x) - \tan (x)}{\sec (x) - \tan (x)}$ .

$\frac{\sec (x) - \tan (x)}{(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))} + \frac{1}{\sec (x) - \tan (x)} \cdot \frac{\sec (x) + \tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$

Multiplica $\frac{1}{\sec (x) - \tan (x)}$ por $\frac{\sec (x) + \tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$ .

$\frac{\sec (x) - \tan (x)}{(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))} + \frac{\sec (x) + \tan (x)}{(\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) + \tan (x))}$

Reordena los factores de $(\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) + \tan (x))$ .

$\frac{\sec (x) - \tan (x)}{(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))} + \frac{\sec (x) + \tan (x)}{(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\sec (x) - \tan (x) + \sec (x) + \tan (x)}{(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))}$

Step 3

Simplifica el numerador.

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Suma $\sec (x)$ y $\sec (x)$ .

$\frac{2 \sec (x) - \tan (x) + \tan (x)}{(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))}$

Suma $- \tan (x)$ y $\tan (x)$ .

$\frac{2 \sec (x) + 0}{(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))}$

Suma $2 \sec (x)$ y $0$ .

$\frac{2 \sec (x)}{(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))}$

Step 4

Simplifica el denominador.

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Expande $(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 \sec (x)}{\sec (x) (\sec (x) - \tan (x)) + \tan (x) (\sec (x) - \tan (x))}$

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 \sec (x)}{\sec (x) \sec (x) + \sec (x) (- \tan (x)) + \tan (x) (\sec (x) - \tan (x))}$

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 \sec (x)}{\sec (x) \sec (x) + \sec (x) (- \tan (x)) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) (- \tan (x))}$

Simplifica y combina los términos similares.

$\frac{2 \sec (x)}{\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x)}$

Step 5

Aplica la identidad pitagórica.

$\frac{2 \sec (x)}{1}$

Step 6

Aplica la identidad recíproca a $\sec (x)$ .

$\frac{2 \frac{1}{\cos (x)}}{1}$

Step 7

Simplifica.

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Divide $2 \frac{1}{\cos (x)}$ por $1$ .

$2 \frac{1}{\cos (x)}$

Combina $2$ y $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{2}{\cos (x)}$

Step 8

Reescribe $\frac{2}{\cos (x)}$ como $2 \sec (x)$ .

$2 \sec (x)$

Step 9

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$\frac{1}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{1}{\sec (x) - \tan (x)} = 2 \sec (x)$ es una identidad