Trigonometría Ejemplos

$\frac{1}{1 - \sin (x)} = \sec^{2} (x) + \tan (x) \sec (x)$

Step 1

Comienza por el lado derecho.

$\sec^{2} (x) + \tan (x) \sec (x)$

Step 2

Convierte a senos y cosenos.

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Aplica la identidad recíproca a $\sec (x)$ .

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + \tan (x) \sec (x)$

Escribe $\tan (x)$ en senos y cosenos mediante la identidad del cociente.

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \sec (x)$

Aplica la identidad recíproca a $\sec (x)$ .

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Simplifica.

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Aplica la regla del producto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Step 3

Multiplica $\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Step 4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1 + \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Step 5

Aplica la identidad pitagórica al revés.

$\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin^{2} (x)}$

Step 6

Simplifica.

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Simplifica el denominador.

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Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{1 + \sin (x)}{1^{2} - {\sin (x)}^{2}}$

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = \sin (x)$ .

$\frac{1 + \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Cancela el factor común de $1 + \sin (x)$ .

$\frac{1}{1 - \sin (x)}$

Step 7

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$\frac{1}{1 - \sin (x)} = \sec^{2} (x) + \tan (x) \sec (x)$ es una identidad