Trigonometría Ejemplos

$\frac{1}{\cos (x) + 1} + \frac{1}{\cos (x) - 1} = - 2 \csc (x) \cot (x)$

Step 1

Comienza por el lado izquierdo.

$\frac{1}{\cos (x) + 1} + \frac{1}{\cos (x) - 1}$

Step 2

Suma fracciones.

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Para escribir $\frac{1}{\cos (x) + 1}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{\cos (x) - 1}{\cos (x) - 1}$ .

$\frac{1}{\cos (x) + 1} \cdot \frac{\cos (x) - 1}{\cos (x) - 1} + \frac{1}{\cos (x) - 1}$

Para escribir $\frac{1}{\cos (x) - 1}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{\cos (x) + 1}{\cos (x) + 1}$ .

$\frac{1}{\cos (x) + 1} \cdot \frac{\cos (x) - 1}{\cos (x) - 1} + \frac{1}{\cos (x) - 1} \cdot \frac{\cos (x) + 1}{\cos (x) + 1}$

Escribe cada expresión con un denominador común de $(\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Multiplica $\frac{1}{\cos (x) + 1}$ por $\frac{\cos (x) - 1}{\cos (x) - 1}$ .

$\frac{\cos (x) - 1}{(\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1)} + \frac{1}{\cos (x) - 1} \cdot \frac{\cos (x) + 1}{\cos (x) + 1}$

Multiplica $\frac{1}{\cos (x) - 1}$ por $\frac{\cos (x) + 1}{\cos (x) + 1}$ .

$\frac{\cos (x) - 1}{(\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1)} + \frac{\cos (x) + 1}{(\cos (x) - 1) (\cos (x) + 1)}$

Reordena los factores de $(\cos (x) - 1) (\cos (x) + 1)$ .

$\frac{\cos (x) - 1}{(\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1)} + \frac{\cos (x) + 1}{(\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1)}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\cos (x) - 1 + \cos (x) + 1}{(\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1)}$

Step 3

Simplifica el numerador.

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Suma $\cos (x)$ y $\cos (x)$ .

$\frac{2 \cos (x) - 1 + 1}{(\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1)}$

Suma $- 1$ y $1$ .

$\frac{2 \cos (x) + 0}{(\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1)}$

Suma $2 \cos (x)$ y $0$ .

$\frac{2 \cos (x)}{(\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1)}$

Step 4

Simplifica el denominador.

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Expande $(\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 \cos (x)}{\cos (x) (\cos (x) - 1) + 1 (\cos (x) - 1)}$

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 \cos (x)}{\cos (x) \cos (x) + \cos (x) \cdot - 1 + 1 (\cos (x) - 1)}$

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 \cos (x)}{\cos (x) \cos (x) + \cos (x) \cdot - 1 + 1 \cos (x) + 1 \cdot - 1}$

Simplifica y combina los términos similares.

$\frac{2 \cos (x)}{\cos^{2} (x) - 1}$

Step 5

Aplica la identidad pitagórica.

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Reordena $\cos^{2} (x)$ y $- 1$ .

$\frac{2 \cos (x)}{- 1 + \cos^{2} (x)}$

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{2 \cos (x)}{- 1 (1) + \cos^{2} (x)}$

Factoriza $- 1$ de $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{2 \cos (x)}{- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))}$

Factoriza $- 1$ de $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ .

$\frac{2 \cos (x)}{- 1 (1 - \cos^{2} (x))}$

Reescribe $- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ como $- (1 - \cos^{2} (x))$ .

$\frac{2 \cos (x)}{- (1 - \cos^{2} (x))}$

Aplica la identidad pitagórica.

$\frac{2 \cos (x)}{- \sin^{2} (x)}$

Step 6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Step 7

Escribe $- 1$ como una fracción con el denominador $1$ .

$\frac{- 1}{1} \cdot \frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Step 8

Combinar.

$\frac{- (2 \cos (x))}{1 \sin^{2} (x)}$

Step 9

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{- 2 \cos (x)}{1 \sin^{2} (x)}$

Step 10

Multiplica ${\sin (x)}^{2}$ por $1$ .

$\frac{- 2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Step 11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Step 12

Ahora considera el lado derecho de la ecuación.

$- 2 \csc (x) \cot (x)$

Step 13

Convierte a senos y cosenos.

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Aplica la identidad recíproca a $\csc (x)$ .

$- 2 \frac{1}{\sin (x)} \cot (x)$

Escribe $\cot (x)$ en senos y cosenos mediante la identidad del cociente.

$- 2 \frac{1}{\sin (x)} \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Step 14

Simplifica.

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Combina $- 2$ y $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{- 2}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Multiplica $- \frac{2}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

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Multiplica $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ por $\frac{2}{\sin (x)}$ .

$- \frac{\cos (x) \cdot 2}{\sin (x) \sin (x)}$

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{\cos (x) \cdot 2}{{\sin (x)}^{1} \sin (x)}$

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{\cos (x) \cdot 2}{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}}$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{\cos (x) \cdot 2}{{\sin (x)}^{1 + 1}}$

Suma $1$ y $1$ .

$- \frac{\cos (x) \cdot 2}{{\sin (x)}^{2}}$

Mueve $2$ a la izquierda de $\cos (x)$ .

$- \frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Step 15

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$\frac{1}{\cos (x) + 1} + \frac{1}{\cos (x) - 1} = - 2 \csc (x) \cot (x)$ es una identidad