Trigonometría Ejemplos

$\frac{1 + \sin (a)}{1 - \sin (a)} - \frac{1 - \sin (a)}{1 + \sin (a)} = 4 \tan (a) \sec (a)$

Step 1

Comienza por el lado izquierdo.

$\frac{1 + \sin (a)}{1 - \sin (a)} - \frac{1 - \sin (a)}{1 + \sin (a)}$

Step 2

Resta de fracciones.

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Para escribir $\frac{1 + \sin (a)}{1 - \sin (a)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{1 + \sin (a)}{1 + \sin (a)}$ .

$\frac{1 + \sin (a)}{1 - \sin (a)} \cdot \frac{1 + \sin (a)}{1 + \sin (a)} - \frac{1 - \sin (a)}{1 + \sin (a)}$

Para escribir $- \frac{1 - \sin (a)}{1 + \sin (a)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{1 - \sin (a)}{1 - \sin (a)}$ .

$\frac{1 + \sin (a)}{1 - \sin (a)} \cdot \frac{1 + \sin (a)}{1 + \sin (a)} - \frac{1 - \sin (a)}{1 + \sin (a)} \cdot \frac{1 - \sin (a)}{1 - \sin (a)}$

Escribe cada expresión con un denominador común de $(1 - \sin (a)) (1 + \sin (a))$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Multiplica $\frac{1 + \sin (a)}{1 - \sin (a)}$ por $\frac{1 + \sin (a)}{1 + \sin (a)}$ .

$\frac{(1 + \sin (a)) (1 + \sin (a))}{(1 - \sin (a)) (1 + \sin (a))} - \frac{1 - \sin (a)}{1 + \sin (a)} \cdot \frac{1 - \sin (a)}{1 - \sin (a)}$

Multiplica $\frac{1 - \sin (a)}{1 + \sin (a)}$ por $\frac{1 - \sin (a)}{1 - \sin (a)}$ .

$\frac{(1 + \sin (a)) (1 + \sin (a))}{(1 - \sin (a)) (1 + \sin (a))} - \frac{(1 - \sin (a)) (1 - \sin (a))}{(1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))}$

Reordena los factores de $(1 - \sin (a)) (1 + \sin (a))$ .

$\frac{(1 + \sin (a)) (1 + \sin (a))}{(1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))} - \frac{(1 - \sin (a)) (1 - \sin (a))}{(1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(1 + \sin (a)) (1 + \sin (a)) - (1 - \sin (a)) (1 - \sin (a))}{(1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))}$

Step 3

Simplifica el numerador.

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Simplifica cada término.

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Expande $(1 + \sin (a)) (1 + \sin (a))$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 (1 + \sin (a)) + \sin (a) (1 + \sin (a)) - (1 - \sin (a)) (1 - \sin (a))}{(1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))}$

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 \sin (a) + \sin (a) (1 + \sin (a)) - (1 - \sin (a)) (1 - \sin (a))}{(1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))}$

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 \sin (a) + \sin (a) \cdot 1 + \sin (a) \sin (a) - (1 - \sin (a)) (1 - \sin (a))}{(1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))}$

Simplifica y combina los términos similares.

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Simplifica cada término.

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Multiplica $1$ por $1$ .

$\frac{1 + 1 \sin (a) + \sin (a) \cdot 1 + \sin (a) \sin (a) - (1 - \sin (a)) (1 - \sin (a))}{(1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))}$

Multiplica $\sin (a)$ por $1$ .

$\frac{1 + \sin (a) + \sin (a) \cdot 1 + \sin (a) \sin (a) - (1 - \sin (a)) (1 - \sin (a))}{(1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))}$

Multiplica $\sin (a)$ por $1$ .

$\frac{1 + \sin (a) + \sin (a) + \sin (a) \sin (a) - (1 - \sin (a)) (1 - \sin (a))}{(1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))}$

Multiplica $\sin (a) \sin (a)$ .

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Eleva $\sin (a)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1 + \sin (a) + \sin (a) + {\sin (a)}^{1} \sin (a) - (1 - \sin (a)) (1 - \sin (a))}{(1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))}$

Eleva $\sin (a)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1 + \sin (a) + \sin (a) + {\sin (a)}^{1} {\sin (a)}^{1} - (1 - \sin (a)) (1 - \sin (a))}{(1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))}$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1 + \sin (a) + \sin (a) + {\sin (a)}^{1 + 1} - (1 - \sin (a)) (1 - \sin (a))}{(1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))}$

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1 + \sin (a) + \sin (a) + {\sin (a)}^{2} - (1 - \sin (a)) (1 - \sin (a))}{(1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))}$

Suma $\sin (a)$ y $\sin (a)$ .

$\frac{1 + 2 \sin (a) + {\sin (a)}^{2} - (1 - \sin (a)) (1 - \sin (a))}{(1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))}$

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 + 2 \sin (a) + {\sin (a)}^{2} + (- 1 \cdot 1 - - \sin (a)) (1 - \sin (a))}{(1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))}$

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 + 2 \sin (a) + {\sin (a)}^{2} + (- 1 - - \sin (a)) (1 - \sin (a))}{(1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))}$

Multiplica $- - \sin (a)$ .

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Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1 + 2 \sin (a) + {\sin (a)}^{2} + (- 1 + 1 \sin (a)) (1 - \sin (a))}{(1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))}$

Multiplica $\sin (a)$ por $1$ .

$\frac{1 + 2 \sin (a) + {\sin (a)}^{2} + (- 1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))}{(1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))}$

Expande $(- 1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 + 2 \sin (a) + {\sin (a)}^{2} - 1 (1 - \sin (a)) + \sin (a) (1 - \sin (a))}{(1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))}$

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 + 2 \sin (a) + {\sin (a)}^{2} - 1 \cdot 1 - 1 (- \sin (a)) + \sin (a) (1 - \sin (a))}{(1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))}$

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 + 2 \sin (a) + {\sin (a)}^{2} - 1 \cdot 1 - 1 (- \sin (a)) + \sin (a) \cdot 1 + \sin (a) (- \sin (a))}{(1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))}$

Simplifica y combina los términos similares.

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Simplifica cada término.

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Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 + 2 \sin (a) + {\sin (a)}^{2} - 1 - 1 (- \sin (a)) + \sin (a) \cdot 1 + \sin (a) (- \sin (a))}{(1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))}$

Multiplica $- 1 (- \sin (a))$ .

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Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1 + 2 \sin (a) + {\sin (a)}^{2} - 1 + 1 \sin (a) + \sin (a) \cdot 1 + \sin (a) (- \sin (a))}{(1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))}$

Multiplica $\sin (a)$ por $1$ .

$\frac{1 + 2 \sin (a) + {\sin (a)}^{2} - 1 + \sin (a) + \sin (a) \cdot 1 + \sin (a) (- \sin (a))}{(1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))}$

Multiplica $\sin (a)$ por $1$ .

$\frac{1 + 2 \sin (a) + {\sin (a)}^{2} - 1 + \sin (a) + \sin (a) + \sin (a) (- \sin (a))}{(1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))}$

Multiplica $\sin (a) (- \sin (a))$ .

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Eleva $\sin (a)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1 + 2 \sin (a) + {\sin (a)}^{2} - 1 + \sin (a) + \sin (a) - ({\sin (a)}^{1} \sin (a))}{(1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))}$

Eleva $\sin (a)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1 + 2 \sin (a) + {\sin (a)}^{2} - 1 + \sin (a) + \sin (a) - ({\sin (a)}^{1} {\sin (a)}^{1})}{(1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))}$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1 + 2 \sin (a) + {\sin (a)}^{2} - 1 + \sin (a) + \sin (a) - {\sin (a)}^{1 + 1}}{(1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))}$

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1 + 2 \sin (a) + {\sin (a)}^{2} - 1 + \sin (a) + \sin (a) - {\sin (a)}^{2}}{(1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))}$

Suma $\sin (a)$ y $\sin (a)$ .

$\frac{1 + 2 \sin (a) + {\sin (a)}^{2} - 1 + 2 \sin (a) - {\sin (a)}^{2}}{(1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))}$

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{2 \sin (a) + {\sin (a)}^{2} + 0 + 2 \sin (a) - {\sin (a)}^{2}}{(1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))}$

Suma $2 \sin (a)$ y $0$ .

$\frac{{\sin (a)}^{2} + 2 \sin (a) + 2 \sin (a) - {\sin (a)}^{2}}{(1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))}$

Resta ${\sin (a)}^{2}$ de ${\sin (a)}^{2}$ .

$\frac{2 \sin (a) + 2 \sin (a) + 0}{(1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))}$

Suma $2 \sin (a)$ y $2 \sin (a)$ .

$\frac{4 \sin (a) + 0}{(1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))}$

Suma $4 \sin (a)$ y $0$ .

$\frac{4 \sin (a)}{(1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))}$

Step 4

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Expande $(1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 \sin (a)}{1 (1 - \sin (a)) + \sin (a) (1 - \sin (a))}$

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 \sin (a)}{1 \cdot 1 + 1 (- \sin (a)) + \sin (a) (1 - \sin (a))}$

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 \sin (a)}{1 \cdot 1 + 1 (- \sin (a)) + \sin (a) \cdot 1 + \sin (a) (- \sin (a))}$

Simplifica y combina los términos similares.

$\frac{4 \sin (a)}{1 - \sin^{2} (a)}$

Step 5

Aplica la identidad pitagórica.

$\frac{4 \sin (a)}{\cos^{2} (a)}$

Step 6

Reescribe $\frac{4 \sin (a)}{\cos^{2} (a)}$ como $4 \tan (a) \sec (a)$ .

$4 \tan (a) \sec (a)$

Step 7

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$\frac{1 + \sin (a)}{1 - \sin (a)} - \frac{1 - \sin (a)}{1 + \sin (a)} = 4 \tan (a) \sec (a)$ es una identidad