Trigonometría Ejemplos

$(1 - \cos^{2} (x)) (1 + \cos^{2} (x)) = 2 \sin^{2} (x) - \sin^{4} (x)$

Step 1

Comienza por el lado izquierdo.

$(1 - \cos^{2} (x)) (1 + \cos^{2} (x))$

Step 2

Factoriza.

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Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$(1^{2} - \cos^{2} (x)) (1 + \cos^{2} (x))$

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = \cos (x)$ .

$(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x)) (1 + \cos^{2} (x))$

Step 3

Aplica la identidad pitagórica al revés.

$(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x)) (1 + 1 - \sin^{2} (x))$

Step 4

Simplifica.

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Expande $(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Aplica la propiedad distributiva.

$(1 (1 - \cos (x)) + \cos (x) (1 - \cos (x))) (1 + 1 - {\sin (x)}^{2})$

Aplica la propiedad distributiva.

$(1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) (1 - \cos (x))) (1 + 1 - {\sin (x)}^{2})$

Aplica la propiedad distributiva.

$(1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x))) (1 + 1 - {\sin (x)}^{2})$

Simplifica y combina los términos similares.

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Simplifica cada término.

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Multiplica $1$ por $1$ .

$(1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x))) (1 + 1 - {\sin (x)}^{2})$

Multiplica $- \cos (x)$ por $1$ .

$(1 - \cos (x) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x))) (1 + 1 - {\sin (x)}^{2})$

Multiplica $\cos (x)$ por $1$ .

$(1 - \cos (x) + \cos (x) + \cos (x) (- \cos (x))) (1 + 1 - {\sin (x)}^{2})$

Multiplica $\cos (x) (- \cos (x))$ .

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Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$(1 - \cos (x) + \cos (x) - ({\cos (x)}^{1} \cos (x))) (1 + 1 - {\sin (x)}^{2})$

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$(1 - \cos (x) + \cos (x) - ({\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1})) (1 + 1 - {\sin (x)}^{2})$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(1 - \cos (x) + \cos (x) - {\cos (x)}^{1 + 1}) (1 + 1 - {\sin (x)}^{2})$

Suma $1$ y $1$ .

$(1 - \cos (x) + \cos (x) - {\cos (x)}^{2}) (1 + 1 - {\sin (x)}^{2})$

Suma $- \cos (x)$ y $\cos (x)$ .

$(1 + 0 - {\cos (x)}^{2}) (1 + 1 - {\sin (x)}^{2})$

Suma $1$ y $0$ .

$(1 - {\cos (x)}^{2}) (1 + 1 - {\sin (x)}^{2})$

Suma $1$ y $1$ .

$(1 - {\cos (x)}^{2}) (2 - {\sin (x)}^{2})$

Expande $(1 - {\cos (x)}^{2}) (2 - {\sin (x)}^{2})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Aplica la propiedad distributiva.

$1 (2 - {\sin (x)}^{2}) - {\cos (x)}^{2} (2 - {\sin (x)}^{2})$

Aplica la propiedad distributiva.

$1 \cdot 2 + 1 (- {\sin (x)}^{2}) - {\cos (x)}^{2} (2 - {\sin (x)}^{2})$

Aplica la propiedad distributiva.

$1 \cdot 2 + 1 (- {\sin (x)}^{2}) - {\cos (x)}^{2} \cdot 2 - {\cos (x)}^{2} (- {\sin (x)}^{2})$

Simplifica cada término.

$2 - \sin^{2} (x) - 2 \cos^{2} (x) + \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$

Step 5

Simplifica la expresión.

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Mueve $- 2 \cos^{2} (x)$ .

$2 - 2 \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$

Factoriza $2$ de $2$ .

$2 (1) - 2 \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$

Factoriza $2$ de $- 2 \cos^{2} (x)$ .

$2 (1) + 2 (- \cos^{2} (x)) - \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$

Factoriza $2$ de $2 (1) + 2 (- \cos^{2} (x))$ .

$2 (1 - \cos^{2} (x)) - \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$

Aplica la identidad pitagórica.

$2 \sin^{2} (x) - \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$

Factoriza $\sin^{2} (x)$ de $2 \sin^{2} (x) - \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$ .

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Factoriza $\sin^{2} (x)$ de $2 \sin^{2} (x)$ .

$\sin^{2} (x) \cdot 2 - \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$

Factoriza $\sin^{2} (x)$ de $- \sin^{2} (x)$ .

$\sin^{2} (x) \cdot 2 + \sin^{2} (x) \cdot - 1 + \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$

Factoriza $\sin^{2} (x)$ de $\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$ .

$\sin^{2} (x) \cdot 2 + \sin^{2} (x) \cdot - 1 + \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$

Factoriza $\sin^{2} (x)$ de $\sin^{2} (x) \cdot 2 + \sin^{2} (x) \cdot - 1$ .

$\sin^{2} (x) \cdot (2 - 1) + \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$

Factoriza $\sin^{2} (x)$ de $\sin^{2} (x) \cdot (2 - 1) + \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$ .

$\sin^{2} (x) (2 - 1 + \cos^{2} (x))$

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\sin^{2} (x) (2 - 1 (1) + \cos^{2} (x))$

Factoriza $- 1$ de $\cos^{2} (x)$ .

$\sin^{2} (x) (2 - 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x)))$

Factoriza $- 1$ de $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ .

$\sin^{2} (x) (2 - 1 (1 - \cos^{2} (x)))$

Reescribe $- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ como $- (1 - \cos^{2} (x))$ .

$\sin^{2} (x) (2 - (1 - \cos^{2} (x)))$

Aplica la identidad pitagórica.

$\sin^{2} (x) (2 - \sin^{2} (x))$

Aplica la propiedad distributiva.

$\sin^{2} (x) \cdot 2 + \sin^{2} (x) (- \sin^{2} (x))$

Mueve $2$ a la izquierda de $\sin^{2} (x)$ .

$2 \cdot \sin^{2} (x) + \sin^{2} (x) (- \sin^{2} (x))$

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 \cdot \sin^{2} (x) - \sin^{2} (x) \sin^{2} (x)$

Multiplica $\sin^{2} (x)$ por $\sin^{2} (x)$ sumando los exponentes.

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Mueve $\sin^{2} (x)$ .

$2 \sin^{2} (x) - (\sin^{2} (x) \sin^{2} (x))$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 \sin^{2} (x) - {\sin (x)}^{2 + 2}$

Suma $2$ y $2$ .

$2 \sin^{2} (x) - \sin^{4} (x)$

Step 6

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$(1 - \cos^{2} (x)) (1 + \cos^{2} (x)) = 2 \sin^{2} (x) - \sin^{4} (x)$ es una identidad