Trigonometría Ejemplos

$\frac{\cos (x) + 1}{\sin^{3} (x)} = \frac{\csc (x)}{1 - \cos (x)}$

Step 1

Comienza por el lado derecho.

$\frac{\csc (x)}{1 - \cos (x)}$

Step 2

Multiplica $\frac{\csc (x)}{1 - \cos (x)}$ por $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ .

$\frac{\csc (x)}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$

Step 3

Combinar.

$\frac{\csc (x) (1 + \cos (x))}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))}$

Step 4

Simplifica el numerador.

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Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\csc (x) \cdot 1 + \csc (x) \cos (x)}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))}$

Multiplica $\csc (x)$ por $1$ .

$\frac{\csc (x) + \csc (x) \cos (x)}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))}$

Step 5

Simplifica el denominador.

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Expande $(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\csc (x) + \csc (x) \cos (x)}{1 (1 + \cos (x)) - \cos (x) (1 + \cos (x))}$

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\csc (x) + \csc (x) \cos (x)}{1 \cdot 1 + 1 \cos (x) - \cos (x) (1 + \cos (x))}$

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\csc (x) + \csc (x) \cos (x)}{1 \cdot 1 + 1 \cos (x) - \cos (x) \cdot 1 - \cos (x) \cos (x)}$

Simplifica y combina los términos similares.

$\frac{\csc (x) + \csc (x) \cos (x)}{1 - \cos^{2} (x)}$

Step 6

Aplica la identidad pitagórica.

$\frac{\csc (x) + \csc (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Step 7

Convierte a senos y cosenos.

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Aplica la identidad recíproca a $\csc (x)$ .

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} + \csc (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Aplica la identidad recíproca a $\csc (x)$ .

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} + \frac{1}{\sin (x)} \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Step 8

Simplifica.

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Simplifica el numerador.

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Combina $\frac{1}{\sin (x)}$ y $\cos (x)$ .

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{{\sin (x)}^{2}}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{1 + \cos (x)}{\sin (x)}}{{\sin (x)}^{2}}$

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{1 + \cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

Multiplica $\frac{1 + \cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$ .

$\frac{1 + \cos (x)}{\sin^{3} (x)}$

Step 9

Reescribe $\frac{1 + \cos (x)}{\sin^{3} (x)}$ como $\frac{\cos (x) + 1}{\sin^{3} (x)}$ .

$\frac{\cos (x) + 1}{\sin^{3} (x)}$

Step 10

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$\frac{\cos (x) + 1}{\sin^{3} (x)} = \frac{\csc (x)}{1 - \cos (x)}$ es una identidad