Trigonometría Ejemplos

$(\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x)) + \tan^{2} (x) = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Step 1

Comienza por el lado izquierdo.

$(\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x)) + \tan^{2} (x)$

Step 2

Simplifica cada término.

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Reescribe $\csc (x)$ en términos de senos y cosenos.

$(\frac{1}{\sin (x)} + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x)) + \tan^{2} (x)$

Reescribe $\cot (x)$ en términos de senos y cosenos.

$(\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (\csc (x) - \cot (x)) + \tan^{2} (x)$

Simplifica cada término.

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Reescribe $\csc (x)$ en términos de senos y cosenos.

$(\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (\frac{1}{\sin (x)} - \cot (x)) + \tan^{2} (x)$

Reescribe $\cot (x)$ en términos de senos y cosenos.

$(\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \tan^{2} (x)$

Expande $(\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{\sin (x)} (\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \tan^{2} (x)$

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \tan^{2} (x)$

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \tan^{2} (x)$

Combina los términos opuestos en $\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$ .

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Reordena los factores en los términos $\frac{1}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$ y $\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \tan^{2} (x)$

Suma $- \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ y $\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + 0 + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \tan^{2} (x)$

Suma $\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$ y $0$ .

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \tan^{2} (x)$

Simplifica cada término.

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Multiplica $\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$ .

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Multiplica $\frac{1}{\sin (x)}$ por $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{\sin (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \tan^{2} (x)$

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{\sin^{1} (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \tan^{2} (x)$

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \tan^{2} (x)$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{{\sin (x)}^{1 + 1}} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \tan^{2} (x)$

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \tan^{2} (x)$

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \tan^{2} (x)$

Multiplica $- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

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Multiplica $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ por $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} + \tan^{2} (x)$

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} + \tan^{2} (x)$

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x) \sin (x)} + \tan^{2} (x)$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x) \sin (x)} + \tan^{2} (x)$

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x) \sin (x)} + \tan^{2} (x)$

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{1} (x) \sin (x)} + \tan^{2} (x)$

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)} + \tan^{2} (x)$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{{\sin (x)}^{1 + 1}} + \tan^{2} (x)$

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \tan^{2} (x)$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1 - \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \tan^{2} (x)$

Aplica la identidad pitagórica.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \tan^{2} (x)$

Cancela el factor común de $\sin^{2} (x)$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \tan^{2} (x)$

Reescribe la expresión.

$1 + \tan^{2} (x)$

Reescribe $\tan (x)$ en términos de senos y cosenos.

$1 + {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$

Aplica la regla del producto a $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$1 + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Step 3

Aplica la identidad pitagórica al revés.

$1 + \frac{1 - \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Step 4

Simplifica.

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Simplifica el numerador.

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Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$1 + \frac{1^{2} - {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = \cos (x)$ .

$1 + \frac{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{{\cos (x)}^{2}}$

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{{\cos (x)}^{2}}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{{\cos (x)}^{2} + (1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{{\cos (x)}^{2}}$

Simplifica el numerador.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Step 5

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$(\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x)) + \tan^{2} (x) = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$ es una identidad