Trigonometría Ejemplos

$\cos (x + \frac{π}{4}) + \cos (x - \frac{π}{4}) = \sqrt{2} \cos (x)$

Step 1

Comienza por el lado izquierdo.

$\cos (x + \frac{π}{4}) + \cos (x - \frac{π}{4})$

Step 2

Aplica la suma de la razón de los ángulos $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ .

$\cos (x) \cos (\frac{π}{4}) - \sin (x) \sin (\frac{π}{4}) + \cos (x - \frac{π}{4})$

Step 3

Aplica la suma de la razón de los ángulos $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ .

$\cos (x) \cos (\frac{π}{4}) - \sin (x) \sin (\frac{π}{4}) + \cos (x) \cos (- \frac{π}{4}) - \sin (x) \sin (- \frac{π}{4})$

Step 4

Simplifica la expresión.

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Simplifica cada término.

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El valor exacto de $\cos (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\cos (x) \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (x) \sin (\frac{π}{4}) + \cos (x) \cos (- \frac{π}{4}) - \sin (x) \sin (- \frac{π}{4})$

Combina $\cos (x)$ y $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \sin (x) \sin (\frac{π}{4}) + \cos (x) \cos (- \frac{π}{4}) - \sin (x) \sin (- \frac{π}{4})$

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \sin (x) \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (x) \cos (- \frac{π}{4}) - \sin (x) \sin (- \frac{π}{4})$

Combina $\frac{\sqrt{2}}{2}$ y $\sin (x)$ .

$\frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2} + \cos (x) \cos (- \frac{π}{4}) - \sin (x) \sin (- \frac{π}{4})$

Suma las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$\frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2} + \cos (x) \cos (\frac{7 π}{4}) - \sin (x) \sin (- \frac{π}{4})$

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$\frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2} + \cos (x) \cos (\frac{π}{4}) - \sin (x) \sin (- \frac{π}{4})$

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2} + \cos (x) \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (x) \sin (- \frac{π}{4})$

Combina $\cos (x)$ y $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2} + \frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \sin (x) \sin (- \frac{π}{4})$

Suma las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$\frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2} + \frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \sin (x) \sin (\frac{7 π}{4})$

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el seno es negativo en el cuarto cuadrante.

$\frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2} + \frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \sin (x) (- \sin (\frac{π}{4}))$

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2} + \frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \sin (x) (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Multiplica $- \sin (x) (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

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Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2} + \frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} + 1 \sin (x) \frac{\sqrt{2}}{2}$

Multiplica $\sin (x)$ por $1$ .

$\frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2} + \frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} + \sin (x) \frac{\sqrt{2}}{2}$

Combina $\sin (x)$ y $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2} + \frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} + \frac{\sin (x) \sqrt{2}}{2}$

Combina los términos opuestos en $\frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2} + \frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} + \frac{\sin (x) \sqrt{2}}{2}$ .

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Reordena los factores en los términos $- \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2}$ y $\frac{\sin (x) \sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2} + \frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2}$

Suma $- \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2}$ y $\frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2}$ .

$\frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} + 0 + \frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2}$

Suma $\frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2}$ y $0$ .

$\frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} + \frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\cos (x) \sqrt{2} + \cos (x) \sqrt{2}}{2}$

Suma $\cos (x) \sqrt{2}$ y $\cos (x) \sqrt{2}$ .

$\frac{2 \cos (x) \sqrt{2}}{2}$

Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{2 \cos (x) \sqrt{2}}{2}$

Divide $\cos (x) \sqrt{2}$ por $1$ .

$\cos (x) \sqrt{2}$

Step 5

Reordena los factores en $\cos (x) \sqrt{2}$ .

$\sqrt{2} \cos (x)$

Step 6

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$\cos (x + \frac{π}{4}) + \cos (x - \frac{π}{4}) = \sqrt{2} \cos (x)$ es una identidad