Trigonometría Ejemplos

$\cos (\frac{7 π}{4} + x) + \sin (\frac{5 π}{4} + x) = 0$

Step 1

Comienza por el lado izquierdo.

$\cos (\frac{7 π}{4} + x) + \sin (\frac{5 π}{4} + x)$

Step 2

Aplica la suma de la razón de los ángulos $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ .

$\cos (\frac{7 π}{4}) \cos (x) - \sin (\frac{7 π}{4}) \sin (x) + \sin (\frac{5 π}{4} + x)$

Step 3

Aplica la suma de la razón de los ángulos.

$\cos (\frac{7 π}{4}) \cos (x) - \sin (\frac{7 π}{4}) \sin (x) + \sin (\frac{5 π}{4}) \cos (x) + \cos (\frac{5 π}{4}) \sin (x)$

Step 4

Simplifica la expresión.

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Simplifica cada término.

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Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$\cos (\frac{π}{4}) \cos (x) - \sin (\frac{7 π}{4}) \sin (x) + \sin (\frac{5 π}{4}) \cos (x) + \cos (\frac{5 π}{4}) \sin (x)$

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (x) - \sin (\frac{7 π}{4}) \sin (x) + \sin (\frac{5 π}{4}) \cos (x) + \cos (\frac{5 π}{4}) \sin (x)$

Combina $\frac{\sqrt{2}}{2}$ y $\cos (x)$ .

$\frac{\sqrt{2} \cos (x)}{2} - \sin (\frac{7 π}{4}) \sin (x) + \sin (\frac{5 π}{4}) \cos (x) + \cos (\frac{5 π}{4}) \sin (x)$

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el seno es negativo en el cuarto cuadrante.

$\frac{\sqrt{2} \cos (x)}{2} - - \sin (\frac{π}{4}) \sin (x) + \sin (\frac{5 π}{4}) \cos (x) + \cos (\frac{5 π}{4}) \sin (x)$

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} \cos (x)}{2} - - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (x) + \sin (\frac{5 π}{4}) \cos (x) + \cos (\frac{5 π}{4}) \sin (x)$

Multiplica $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\sqrt{2} \cos (x)}{2} + 1 \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (x) + \sin (\frac{5 π}{4}) \cos (x) + \cos (\frac{5 π}{4}) \sin (x)$

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $1$ .

$\frac{\sqrt{2} \cos (x)}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (x) + \sin (\frac{5 π}{4}) \cos (x) + \cos (\frac{5 π}{4}) \sin (x)$

Combina $\frac{\sqrt{2}}{2}$ y $\sin (x)$ .

$\frac{\sqrt{2} \cos (x)}{2} + \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2} + \sin (\frac{5 π}{4}) \cos (x) + \cos (\frac{5 π}{4}) \sin (x)$

$\frac{\sqrt{2} \cos (x)}{2} + \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2} - \sin (\frac{π}{4}) \cos (x) + \cos (\frac{5 π}{4}) \sin (x)$

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} \cos (x)}{2} + \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cos (x) + \cos (\frac{5 π}{4}) \sin (x)$

Combina $\cos (x)$ y $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} \cos (x)}{2} + \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2} - \frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{5 π}{4}) \sin (x)$

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el tercer cuadrante.

$\frac{\sqrt{2} \cos (x)}{2} + \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2} - \frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4}) \sin (x)$

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} \cos (x)}{2} + \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2} - \frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (x)$

Combina $\sin (x)$ y $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} \cos (x)}{2} + \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2} - \frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \frac{\sin (x) \sqrt{2}}{2}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\sqrt{2} \cos (x) + \sqrt{2} \sin (x) - \cos (x) \sqrt{2} - \sin (x) \sqrt{2}}{2}$

Combina los términos opuestos en $\sqrt{2} \cos (x) + \sqrt{2} \sin (x) - \cos (x) \sqrt{2} - \sin (x) \sqrt{2}$ .

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Reordena los factores en los términos $\sqrt{2} \cos (x)$ y $- \cos (x) \sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} \cos (x) + \sqrt{2} \sin (x) - \sqrt{2} \cos (x) - \sin (x) \sqrt{2}}{2}$

Resta $\sqrt{2} \cos (x)$ de $\sqrt{2} \cos (x)$ .

$\frac{0 + \sqrt{2} \sin (x) - \sin (x) \sqrt{2}}{2}$

Suma $0$ y $\sqrt{2} \sin (x)$ .

$\frac{\sqrt{2} \sin (x) - \sin (x) \sqrt{2}}{2}$

Reordena los factores en los términos $\sqrt{2} \sin (x)$ y $- \sin (x) \sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sin (x) - \sqrt{2} \sin (x)}{2}$

Resta $\sqrt{2} \sin (x)$ de $\sqrt{2} \sin (x)$ .

$\frac{0}{2}$

Divide $0$ por $2$ .

$0$

Step 5

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$\cos (\frac{7 π}{4} + x) + \sin (\frac{5 π}{4} + x) = 0$ es una identidad