Trigonometría Ejemplos

$\cos (x) (\sec (x) + \cos (x) \cdot \csc^{2} (x)) = \csc^{2} (x)$

Step 1

Comienza por el lado izquierdo.

$\cos (x) (\sec (x) + \cos (x) \cdot \csc^{2} (x))$

Step 2

Simplifica la expresión.

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Simplifica cada término.

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Reescribe $\sec (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \cdot \csc^{2} (x))$

Reescribe $\csc (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \cdot {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2})$

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \cdot \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)})$

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \cdot \frac{1}{\sin^{2} (x)})$

Combina $\cos (x)$ y $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ .

$\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)})$

Aplica la propiedad distributiva.

$\cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Cancela el factor común de $\cos (x)$ .

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Cancela el factor común.

$\cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Reescribe la expresión.

$1 + \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Multiplica $\cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

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Combina $\cos (x)$ y $\frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$1 + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$1 + \frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$1 + \frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$1 + \frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin^{2} (x)}$

Suma $1$ y $1$ .

$1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Step 3

Aplica la identidad pitagórica al revés.

$1 + \frac{1 - \sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Step 4

Simplifica.

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Simplifica el numerador.

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Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$1 + \frac{1^{2} - {\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = \sin (x)$ .

$1 + \frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}}$

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{{\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{{\sin (x)}^{2} + (1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}}$

Simplifica el numerador.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Step 5

Reescribe $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ como $\csc^{2} (x)$ .

$\csc^{2} (x)$

Step 6

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$\cos (x) (\sec (x) + \cos (x) \cdot \csc^{2} (x)) = \csc^{2} (x)$ es una identidad