Trigonometría Ejemplos

$\sec^{4} (x) - \tan^{4} (x) = \sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)$

Step 1

Comienza por el lado izquierdo.

$\sec^{4} (x) - \tan^{4} (x)$

Step 2

Simplifica la expresión.

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Reescribe $\sec^{4} (x)$ como ${(\sec^{2} (x))}^{2}$ .

${(\sec^{2} (x))}^{2} - \tan^{4} (x)$

Reescribe $\tan^{4} (x)$ como ${(\tan^{2} (x))}^{2}$ .

${(\sec^{2} (x))}^{2} - {(\tan^{2} (x))}^{2}$

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = \sec^{2} (x)$ y $b = \tan^{2} (x)$ .

$(\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)) (\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x))$

Simplifica cada término.

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Reescribe $\sec (x)$ en términos de senos y cosenos.

$({(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + \tan^{2} (x)) (\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x))$

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$(\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} + \tan^{2} (x)) (\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x))$

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$(\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \tan^{2} (x)) (\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x))$

Reescribe $\tan (x)$ en términos de senos y cosenos.

$(\frac{1}{\cos^{2} (x)} + {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}) (\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x))$

Aplica la regla del producto a $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$(\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}) (\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x))$

Aplica la identidad pitagórica.

$(\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}) \cdot 1$

Multiplica $\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ por $1$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Step 3

Ahora considera el lado derecho de la ecuación.

$\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)$

Step 4

Convierte a senos y cosenos.

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Aplica la identidad recíproca a $\sec (x)$ .

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + \tan^{2} (x)$

Escribe $\tan (x)$ en senos y cosenos mediante la identidad del cociente.

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} + {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$

Aplica la regla del producto a $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Step 5

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Step 6

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$\sec^{4} (x) - \tan^{4} (x) = \sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)$ es una identidad