Trigonometría Ejemplos

$\csc^{2} (x) = \frac{\cot (x)}{\tan (x)} + 1$

Step 1

Comienza por el lado derecho.

$\frac{\cot (x)}{\tan (x)} + 1$

Step 2

Simplifica cada término.

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Reescribe $\tan (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{\cot (x)}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}} + 1$

Reescribe $\cot (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}} + 1$

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1$

Multiplica $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ por $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} + 1$

Simplifica el numerador.

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Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} + 1$

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x) \sin (x)} + 1$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x) \sin (x)} + 1$

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x) \sin (x)} + 1$

Simplifica el denominador.

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Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{1} (x) \sin (x)} + 1$

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)} + 1$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\cos^{2} (x)}{{\sin (x)}^{1 + 1}} + 1$

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + 1$

Step 3

Aplica la identidad pitagórica al revés.

$\frac{1 - \sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + 1$

Step 4

Simplifica.

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Simplifica el numerador.

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Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{1^{2} - {\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} + 1$

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = \sin (x)$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}} + 1$

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)) + {\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

Simplifica el numerador.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Step 5

Reescribe $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ como $\csc^{2} (x)$ .

$\csc^{2} (x)$

Step 6

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$\csc^{2} (x) = \frac{\cot (x)}{\tan (x)} + 1$ es una identidad