Trigonometría Ejemplos

$\frac{\cot (x) - \tan (x)}{\sin (x) \cos (x)} = \csc^{2} (x) - \sec^{2} (x)$

Step 1

Comienza por el lado derecho.

$\csc^{2} (x) - \sec^{2} (x)$

Step 2

Convierte a senos y cosenos.

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Aplica la identidad recíproca a $\csc (x)$ .

${(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} - \sec^{2} (x)$

Aplica la identidad recíproca a $\sec (x)$ .

${(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} - {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} - {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} - \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Step 3

Simplifica cada término.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Step 4

Resta de fracciones.

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Para escribir $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Para escribir $- \frac{1}{\cos^{2} (x)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Escribe cada expresión con un denominador común de $\sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Multiplica $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ por $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x) \cos^{2} (x)} - \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Multiplica $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ por $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x) \cos^{2} (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Reordena los factores de $\sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Step 5

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = \cos (x)$ y $b = \sin (x)$ .

$\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Step 6

Reescribe $\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$ como $\frac{\cot (x) - \tan (x)}{\sin (x) \cos (x)}$ .

$\frac{\cot (x) - \tan (x)}{\sin (x) \cos (x)}$

Step 7

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$\frac{\cot (x) - \tan (x)}{\sin (x) \cos (x)} = \csc^{2} (x) - \sec^{2} (x)$ es una identidad