Trigonometría Ejemplos

$\csc^{4} (x) - \csc^{2} (x) = \cot^{4} (x) + \cot^{2} (x)$

Step 1

Comienza por el lado derecho.

$\cot^{4} (x) + \cot^{2} (x)$

Step 2

Factoriza $\cot^{2} (x)$ de $\cot^{4} (x) + \cot^{2} (x)$ .

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Factoriza $\cot^{2} (x)$ de $\cot^{4} (x)$ .

$\cot^{2} (x) \cot^{2} (x) + \cot^{2} (x)$

Multiplica por $1$ .

$\cot^{2} (x) \cot^{2} (x) + \cot^{2} (x) \cdot 1$

Factoriza $\cot^{2} (x)$ de $\cot^{2} (x) \cot^{2} (x) + \cot^{2} (x) \cdot 1$ .

$\cot^{2} (x) (\cot^{2} (x) + 1)$

Step 3

Aplica la identidad pitagórica.

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Reorganiza los términos.

$\cot^{2} (x) (1 + \cot^{2} (x))$

Aplica la identidad pitagórica.

$\cot^{2} (x) \csc^{2} (x)$

Step 4

Aplica la identidad pitagórica al revés.

$(\csc^{2} (x) - 1) \csc^{2} (x)$

Step 5

Convierte a senos y cosenos.

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Aplica la identidad recíproca a $\csc (x)$ .

$({(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} - 1) \csc^{2} (x)$

Aplica la identidad recíproca a $\csc (x)$ .

$({(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} - 1) {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$(\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} - 1) {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$(\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} - 1) \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$

Step 6

Simplifica.

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Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$(\frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1) \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$(\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - 1) \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - 1 \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

Combinar.

$\frac{1 \cdot 1}{{\sin (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}} - 1 \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

Reescribe $- 1 \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$ como $- \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$ .

$\frac{1 \cdot 1}{{\sin (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}} - \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

Multiplica $1$ por $1$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}} - \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

Multiplica ${\sin (x)}^{2}$ por ${\sin (x)}^{2}$ sumando los exponentes.

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Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2 + 2}} - \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

Suma $2$ y $2$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{4}} - \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

Para escribir $- \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{{\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{4}} - \frac{1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

Escribe cada expresión con un denominador común de ${\sin (x)}^{4}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Multiplica $\frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$ por $\frac{{\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{4}} - \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}}$

Multiplica ${\sin (x)}^{2}$ por ${\sin (x)}^{2}$ sumando los exponentes.

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Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{{\sin (x)}^{4}} - \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2 + 2}}$

Suma $2$ y $2$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{4}} - \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{4}}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1 - {\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{4}}$

Simplifica el numerador.

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\sin^{4} (x)}$

Step 7

Reescribe $\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\sin^{4} (x)}$ como $\csc^{4} (x) - \csc^{2} (x)$ .

$\csc^{4} (x) - \csc^{2} (x)$

Step 8

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$\csc^{4} (x) - \csc^{2} (x) = \cot^{4} (x) + \cot^{2} (x)$ es una identidad