Trigonometría Ejemplos

$\frac{\csc (x)}{1 + \csc (x)} - \frac{\csc (x)}{1 - \csc (x)} = 2 \sec^{2} (x)$

Step 1

Comienza por el lado izquierdo.

$\frac{\csc (x)}{1 + \csc (x)} - \frac{\csc (x)}{1 - \csc (x)}$

Step 2

Resta de fracciones.

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Para escribir $\frac{\csc (x)}{1 + \csc (x)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{1 - \csc (x)}{1 - \csc (x)}$ .

$\frac{\csc (x)}{1 + \csc (x)} \cdot \frac{1 - \csc (x)}{1 - \csc (x)} - \frac{\csc (x)}{1 - \csc (x)}$

Para escribir $- \frac{\csc (x)}{1 - \csc (x)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{1 + \csc (x)}{1 + \csc (x)}$ .

$\frac{\csc (x)}{1 + \csc (x)} \cdot \frac{1 - \csc (x)}{1 - \csc (x)} - \frac{\csc (x)}{1 - \csc (x)} \cdot \frac{1 + \csc (x)}{1 + \csc (x)}$

Escribe cada expresión con un denominador común de $(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Multiplica $\frac{\csc (x)}{1 + \csc (x)}$ por $\frac{1 - \csc (x)}{1 - \csc (x)}$ .

$\frac{\csc (x) (1 - \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))} - \frac{\csc (x)}{1 - \csc (x)} \cdot \frac{1 + \csc (x)}{1 + \csc (x)}$

Multiplica $\frac{\csc (x)}{1 - \csc (x)}$ por $\frac{1 + \csc (x)}{1 + \csc (x)}$ .

$\frac{\csc (x) (1 - \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))} - \frac{\csc (x) (1 + \csc (x))}{(1 - \csc (x)) (1 + \csc (x))}$

Reordena los factores de $(1 - \csc (x)) (1 + \csc (x))$ .

$\frac{\csc (x) (1 - \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))} - \frac{\csc (x) (1 + \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\csc (x) (1 - \csc (x)) - \csc (x) (1 + \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

Step 3

Simplifica el numerador.

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Simplifica cada término.

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Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\csc (x) \cdot 1 + \csc (x) (- \csc (x)) - \csc (x) (1 + \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

Multiplica $\csc (x)$ por $1$ .

$\frac{\csc (x) + \csc (x) (- \csc (x)) - \csc (x) (1 + \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

Multiplica $\csc (x) (- \csc (x))$ .

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Eleva $\csc (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\csc (x) - ({\csc (x)}^{1} \csc (x)) - \csc (x) (1 + \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

Eleva $\csc (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\csc (x) - ({\csc (x)}^{1} {\csc (x)}^{1}) - \csc (x) (1 + \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\csc (x) - {\csc (x)}^{1 + 1} - \csc (x) (1 + \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\csc (x) - {\csc (x)}^{2} - \csc (x) (1 + \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\csc (x) - {\csc (x)}^{2} - \csc (x) \cdot 1 - \csc (x) \csc (x)}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{\csc (x) - {\csc (x)}^{2} - \csc (x) - \csc (x) \csc (x)}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

Multiplica $- \csc (x) \csc (x)$ .

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Eleva $\csc (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\csc (x) - {\csc (x)}^{2} - \csc (x) - ({\csc (x)}^{1} \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

Eleva $\csc (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\csc (x) - {\csc (x)}^{2} - \csc (x) - ({\csc (x)}^{1} {\csc (x)}^{1})}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\csc (x) - {\csc (x)}^{2} - \csc (x) - {\csc (x)}^{1 + 1}}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\csc (x) - {\csc (x)}^{2} - \csc (x) - {\csc (x)}^{2}}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

Resta $\csc (x)$ de $\csc (x)$ .

$\frac{- {\csc (x)}^{2} + 0 - {\csc (x)}^{2}}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

Suma $- {\csc (x)}^{2}$ y $0$ .

$\frac{- {\csc (x)}^{2} - {\csc (x)}^{2}}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

Resta ${\csc (x)}^{2}$ de $- {\csc (x)}^{2}$ .

$\frac{- 2 \csc^{2} (x)}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

Step 4

Simplifica el denominador.

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Expande $(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 2 \csc^{2} (x)}{1 (1 - \csc (x)) + \csc (x) (1 - \csc (x))}$

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 2 \csc^{2} (x)}{1 \cdot 1 + 1 (- \csc (x)) + \csc (x) (1 - \csc (x))}$

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 2 \csc^{2} (x)}{1 \cdot 1 + 1 (- \csc (x)) + \csc (x) \cdot 1 + \csc (x) (- \csc (x))}$

Simplifica y combina los términos similares.

$\frac{- 2 \csc^{2} (x)}{1 - \csc^{2} (x)}$

Step 5

Aplica la identidad pitagórica.

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Reordena $1$ y $- \csc^{2} (x)$ .

$\frac{- 2 \csc^{2} (x)}{- \csc^{2} (x) + 1}$

Factoriza $- 1$ de $- \csc^{2} (x)$ .

$\frac{- 2 \csc^{2} (x)}{- (\csc^{2} (x)) + 1}$

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 2 \csc^{2} (x)}{- \csc^{2} (x) - 1 \cdot - 1}$

Factoriza $- 1$ de $- \csc^{2} (x) - 1 \cdot - 1$ .

$\frac{- 2 \csc^{2} (x)}{- (\csc^{2} (x) - 1)}$

Aplica la identidad pitagórica.

$\frac{- 2 \csc^{2} (x)}{- \cot^{2} (x)}$

Step 6

Convierte a senos y cosenos.

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Aplica la identidad recíproca a $\csc (x)$ .

$\frac{- 2 {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}}{- \cot^{2} (x)}$

Escribe $\cot (x)$ en senos y cosenos mediante la identidad del cociente.

$\frac{- 2 {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}}{- {(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2}}$

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{- 2 \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}}{- {(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2}}$

Aplica la regla del producto a $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{- 2 \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}}{- \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}}$

Step 7

Simplifica.

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Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- 2 \frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- 2 \frac{1}{{\sin (x)}^{2}} (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

Combina $- 2$ y $\frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$ .

$\frac{- 2}{{\sin (x)}^{2}} (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

Cancela el factor común de ${\sin (x)}^{2}$ .

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Mueve el signo menos inicial en $- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ al numerador.

$\frac{- 2}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{- {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$

Factoriza ${\sin (x)}^{2}$ de $- {\sin (x)}^{2}$ .

$\frac{- 2}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{{\sin (x)}^{2} \cdot - 1}{{\cos (x)}^{2}}$

Cancela el factor común.

$\frac{- 2}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{{\sin (x)}^{2} \cdot - 1}{{\cos (x)}^{2}}$

Reescribe la expresión.

$- 2 \frac{- 1}{{\cos (x)}^{2}}$

Combina $- 2$ y $\frac{- 1}{{\cos (x)}^{2}}$ .

$\frac{- 2 \cdot - 1}{{\cos (x)}^{2}}$

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{2}{\cos^{2} (x)}$

Step 8

Reescribe $\frac{2}{\cos^{2} (x)}$ como $2 \sec^{2} (x)$ .

$2 \sec^{2} (x)$

Step 9

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$\frac{\csc (x)}{1 + \csc (x)} - \frac{\csc (x)}{1 - \csc (x)} = 2 \sec^{2} (x)$ es una identidad