Trigonometría Ejemplos

$\cos^{4} (t) - \sin^{4} (t) = 1 - 2 \sin^{2} (t)$

Step 1

Comienza por el lado izquierdo.

$\cos^{4} (t) - \sin^{4} (t)$

Step 2

Factoriza.

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Reescribe $\cos^{4} (t)$ como ${(\cos^{2} (t))}^{2}$ .

${(\cos^{2} (t))}^{2} - \sin^{4} (t)$

Reescribe $\sin^{4} (t)$ como ${(\sin^{2} (t))}^{2}$ .

${(\cos^{2} (t))}^{2} - {(\sin^{2} (t))}^{2}$

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = \cos^{2} (t)$ y $b = \sin^{2} (t)$ .

$(\cos^{2} (t) + \sin^{2} (t)) (\cos^{2} (t) - \sin^{2} (t))$

Simplifica.

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Reorganiza los términos.

$(\sin^{2} (t) + \cos^{2} (t)) (\cos^{2} (t) - \sin^{2} (t))$

Aplica la identidad pitagórica.

$1 (\cos^{2} (t) - \sin^{2} (t))$

Multiplica $\cos^{2} (t) - \sin^{2} (t)$ por $1$ .

$\cos^{2} (t) - \sin^{2} (t)$

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = \cos (t)$ y $b = \sin (t)$ .

$(\cos (t) + \sin (t)) (\cos (t) - \sin (t))$

Step 3

Aplica la propiedad distributiva.

$(\cos (t) + \sin (t)) \cos (t) + (\cos (t) + \sin (t)) (- \sin (t))$

Step 4

Simplifica.

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Simplifica cada término.

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Aplica la propiedad distributiva.

$\cos (t) \cos (t) + \sin (t) \cos (t) + (\cos (t) + \sin (t)) (- \sin (t))$

Multiplica $\cos (t) \cos (t)$ .

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Eleva $\cos (t)$ a la potencia de $1$ .

${\cos (t)}^{1} \cos (t) + \sin (t) \cos (t) + (\cos (t) + \sin (t)) (- \sin (t))$

Eleva $\cos (t)$ a la potencia de $1$ .

${\cos (t)}^{1} {\cos (t)}^{1} + \sin (t) \cos (t) + (\cos (t) + \sin (t)) (- \sin (t))$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

${\cos (t)}^{1 + 1} + \sin (t) \cos (t) + (\cos (t) + \sin (t)) (- \sin (t))$

Suma $1$ y $1$ .

${\cos (t)}^{2} + \sin (t) \cos (t) + (\cos (t) + \sin (t)) (- \sin (t))$

Aplica la propiedad distributiva.

${\cos (t)}^{2} + \sin (t) \cos (t) + \cos (t) (- \sin (t)) + \sin (t) (- \sin (t))$

Multiplica $\sin (t) (- \sin (t))$ .

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Eleva $\sin (t)$ a la potencia de $1$ .

${\cos (t)}^{2} + \sin (t) \cos (t) + \cos (t) (- \sin (t)) - ({\sin (t)}^{1} \sin (t))$

Eleva $\sin (t)$ a la potencia de $1$ .

${\cos (t)}^{2} + \sin (t) \cos (t) + \cos (t) (- \sin (t)) - ({\sin (t)}^{1} {\sin (t)}^{1})$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

${\cos (t)}^{2} + \sin (t) \cos (t) + \cos (t) (- \sin (t)) - {\sin (t)}^{1 + 1}$

Suma $1$ y $1$ .

${\cos (t)}^{2} + \sin (t) \cos (t) + \cos (t) (- \sin (t)) - {\sin (t)}^{2}$

Suma $\cos (t) \sin (t)$ y $\cos (t) (- \sin (t))$ .

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Reordena $\cos (t)$ y $- 1$ .

${\cos (t)}^{2} + \cos (t) \sin (t) - 1 \cdot \cos (t) \sin (t) - {\sin (t)}^{2}$

Resta $\cos (t) \sin (t)$ de $\cos (t) \sin (t)$ .

${\cos (t)}^{2} + 0 - {\sin (t)}^{2}$

Suma ${\cos (t)}^{2}$ y $0$ .

$\cos^{2} (t) - \sin^{2} (t)$

Step 5

Aplica la identidad pitagórica al revés.

$1 - \sin^{2} (t) - \sin^{2} (t)$

Step 6

Resta ${\sin (t)}^{2}$ de $- {\sin (t)}^{2}$ .

$1 - 2 \sin^{2} (t)$

Step 7

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$\cos^{4} (t) - \sin^{4} (t) = 1 - 2 \sin^{2} (t)$ es una identidad