Trigonometría Ejemplos

$\frac{\cot (A)}{\csc (A) + 1} = \sec (A) - \tan (A)$

Step 1

Comienza por el lado izquierdo.

$\frac{\cot (A)}{\csc (A) + 1}$

Step 2

Multiplica $\frac{\cot (A)}{\csc (A) + 1}$ por $\frac{- \csc (A) + 1}{- \csc (A) + 1}$ .

$\frac{\cot (A)}{\csc (A) + 1} \cdot \frac{- \csc (A) + 1}{- \csc (A) + 1}$

Step 3

Combinar.

$\frac{\cot (A) (- \csc (A) + 1)}{(\csc (A) + 1) (- \csc (A) + 1)}$

Step 4

Simplifica el numerador.

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Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\cot (A) (- \csc (A)) + \cot (A) \cdot 1}{(\csc (A) + 1) (- \csc (A) + 1)}$

Multiplica $\cot (A)$ por $1$ .

$\frac{\cot (A) (- \csc (A)) + \cot (A)}{(\csc (A) + 1) (- \csc (A) + 1)}$

Reordena los factores en $\cot (A) (- \csc (A)) + \cot (A)$ .

$\frac{- \cot (A) \csc (A) + \cot (A)}{(\csc (A) + 1) (- \csc (A) + 1)}$

Step 5

Simplifica el denominador.

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Expande $(\csc (A) + 1) (- \csc (A) + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- \cot (A) \csc (A) + \cot (A)}{\csc (A) (- \csc (A) + 1) + 1 (- \csc (A) + 1)}$

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- \cot (A) \csc (A) + \cot (A)}{\csc (A) (- \csc (A)) + \csc (A) \cdot 1 + 1 (- \csc (A) + 1)}$

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- \cot (A) \csc (A) + \cot (A)}{\csc (A) (- \csc (A)) + \csc (A) \cdot 1 + 1 (- \csc (A)) + 1 \cdot 1}$

Simplifica y combina los términos similares.

$\frac{- \cot (A) \csc (A) + \cot (A)}{- \csc^{2} (A) + 1}$

Step 6

Aplica la identidad pitagórica.

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Factoriza $- 1$ de $- \csc^{2} (A)$ .

$\frac{- \cot (A) \csc (A) + \cot (A)}{- (\csc^{2} (A)) + 1}$

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- \cot (A) \csc (A) + \cot (A)}{- \csc^{2} (A) - 1 \cdot - 1}$

Factoriza $- 1$ de $- \csc^{2} (A) - 1 \cdot - 1$ .

$\frac{- \cot (A) \csc (A) + \cot (A)}{- (\csc^{2} (A) - 1)}$

Aplica la identidad pitagórica.

$\frac{- \cot (A) \csc (A) + \cot (A)}{- \cot^{2} (A)}$

Step 7

Convierte a senos y cosenos.

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Escribe $\cot (A)$ en senos y cosenos mediante la identidad del cociente.

$\frac{- \frac{\cos (A)}{\sin (A)} \csc (A) + \cot (A)}{- \cot^{2} (A)}$

Aplica la identidad recíproca a $\csc (A)$ .

$\frac{- \frac{\cos (A)}{\sin (A)} \cdot \frac{1}{\sin (A)} + \cot (A)}{- \cot^{2} (A)}$

Escribe $\cot (A)$ en senos y cosenos mediante la identidad del cociente.

$\frac{- \frac{\cos (A)}{\sin (A)} \cdot \frac{1}{\sin (A)} + \frac{\cos (A)}{\sin (A)}}{- \cot^{2} (A)}$

Escribe $\cot (A)$ en senos y cosenos mediante la identidad del cociente.

$\frac{- \frac{\cos (A)}{\sin (A)} \cdot \frac{1}{\sin (A)} + \frac{\cos (A)}{\sin (A)}}{- {(\frac{\cos (A)}{\sin (A)})}^{2}}$

Aplica la regla del producto a $\frac{\cos (A)}{\sin (A)}$ .

$\frac{- \frac{\cos (A)}{\sin (A)} \cdot \frac{1}{\sin (A)} + \frac{\cos (A)}{\sin (A)}}{- \frac{\cos^{2} (A)}{\sin^{2} (A)}}$

Step 8

Simplifica.

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Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$(- \frac{\cos (A)}{\sin (A)} \cdot \frac{1}{\sin (A)} + \frac{\cos (A)}{\sin (A)}) (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

Multiplica $- \frac{\cos (A)}{\sin (A)} \cdot \frac{1}{\sin (A)}$ .

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Multiplica $\frac{1}{\sin (A)}$ por $\frac{\cos (A)}{\sin (A)}$ .

$(- \frac{\cos (A)}{\sin (A) \sin (A)} + \frac{\cos (A)}{\sin (A)}) (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

Eleva $\sin (A)$ a la potencia de $1$ .

$(- \frac{\cos (A)}{{\sin (A)}^{1} \sin (A)} + \frac{\cos (A)}{\sin (A)}) (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

Eleva $\sin (A)$ a la potencia de $1$ .

$(- \frac{\cos (A)}{{\sin (A)}^{1} {\sin (A)}^{1}} + \frac{\cos (A)}{\sin (A)}) (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(- \frac{\cos (A)}{{\sin (A)}^{1 + 1}} + \frac{\cos (A)}{\sin (A)}) (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

Suma $1$ y $1$ .

$(- \frac{\cos (A)}{{\sin (A)}^{2}} + \frac{\cos (A)}{\sin (A)}) (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

Para escribir $\frac{\cos (A)}{\sin (A)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{\sin (A)}{\sin (A)}$ .

$(- \frac{\cos (A)}{{\sin (A)}^{2}} + \frac{\cos (A)}{\sin (A)} \cdot \frac{\sin (A)}{\sin (A)}) (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

Escribe cada expresión con un denominador común de ${\sin (A)}^{2}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Multiplica $\frac{\cos (A)}{\sin (A)}$ por $\frac{\sin (A)}{\sin (A)}$ .

$(- \frac{\cos (A)}{{\sin (A)}^{2}} + \frac{\cos (A) \sin (A)}{\sin (A) \sin (A)}) (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

Eleva $\sin (A)$ a la potencia de $1$ .

$(- \frac{\cos (A)}{{\sin (A)}^{2}} + \frac{\cos (A) \sin (A)}{{\sin (A)}^{1} \sin (A)}) (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

Eleva $\sin (A)$ a la potencia de $1$ .

$(- \frac{\cos (A)}{{\sin (A)}^{2}} + \frac{\cos (A) \sin (A)}{{\sin (A)}^{1} {\sin (A)}^{1}}) (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(- \frac{\cos (A)}{{\sin (A)}^{2}} + \frac{\cos (A) \sin (A)}{{\sin (A)}^{1 + 1}}) (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

Suma $1$ y $1$ .

$(- \frac{\cos (A)}{{\sin (A)}^{2}} + \frac{\cos (A) \sin (A)}{{\sin (A)}^{2}}) (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- \cos (A) + \cos (A) \sin (A)}{{\sin (A)}^{2}} (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

Factoriza $\cos (A)$ de $- \cos (A) + \cos (A) \sin (A)$ .

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Factoriza $\cos (A)$ de $- \cos (A)$ .

$\frac{\cos (A) \cdot - 1 + \cos (A) \sin (A)}{{\sin (A)}^{2}} (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

Factoriza $\cos (A)$ de $\cos (A) \sin (A)$ .

$\frac{\cos (A) \cdot - 1 + \cos (A) (\sin (A))}{{\sin (A)}^{2}} (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

Factoriza $\cos (A)$ de $\cos (A) \cdot - 1 + \cos (A) (\sin (A))$ .

$\frac{\cos (A) (- 1 + \sin (A))}{{\sin (A)}^{2}} (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

Cancela el factor común de $\cos (A)$ .

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Mueve el signo menos inicial en $- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}}$ al numerador.

$\frac{\cos (A) (- 1 + \sin (A))}{{\sin (A)}^{2}} \cdot \frac{- {\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}}$

Factoriza $\cos (A)$ de ${\cos (A)}^{2}$ .

$\frac{\cos (A) (- 1 + \sin (A))}{{\sin (A)}^{2}} \cdot \frac{- {\sin (A)}^{2}}{\cos (A) \cos (A)}$

Cancela el factor común.

$\frac{\cos (A) (- 1 + \sin (A))}{{\sin (A)}^{2}} \cdot \frac{- {\sin (A)}^{2}}{\cos (A) \cos (A)}$

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1 + \sin (A)}{{\sin (A)}^{2}} \cdot \frac{- {\sin (A)}^{2}}{\cos (A)}$

Cancela el factor común de ${\sin (A)}^{2}$ .

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Factoriza ${\sin (A)}^{2}$ de $- {\sin (A)}^{2}$ .

$\frac{- 1 + \sin (A)}{{\sin (A)}^{2}} \cdot \frac{{\sin (A)}^{2} \cdot - 1}{\cos (A)}$

Cancela el factor común.

$\frac{- 1 + \sin (A)}{{\sin (A)}^{2}} \cdot \frac{{\sin (A)}^{2} \cdot - 1}{\cos (A)}$

Reescribe la expresión.

$(- 1 + \sin (A)) \frac{- 1}{\cos (A)}$

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$(- 1 + \sin (A)) (- \frac{1}{\cos (A)})$

Aplica la propiedad distributiva.

$- 1 (- \frac{1}{\cos (A)}) + \sin (A) (- \frac{1}{\cos (A)})$

Multiplica $- 1 (- \frac{1}{\cos (A)})$ .

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Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{1}{\cos (A)} + \sin (A) (- \frac{1}{\cos (A)})$

Multiplica $\frac{1}{\cos (A)}$ por $1$ .

$\frac{1}{\cos (A)} + \sin (A) (- \frac{1}{\cos (A)})$

Combina $\sin (A)$ y $\frac{1}{\cos (A)}$ .

$\frac{1}{\cos (A)} - \frac{\sin (A)}{\cos (A)}$

Step 9

Ahora considera el lado derecho de la ecuación.

$\sec (A) - \tan (A)$

Step 10

Convierte a senos y cosenos.

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Aplica la identidad recíproca a $\sec (A)$ .

$\frac{1}{\cos (A)} - \tan (A)$

Escribe $\tan (A)$ en senos y cosenos mediante la identidad del cociente.

$\frac{1}{\cos (A)} - \frac{\sin (A)}{\cos (A)}$

Step 11

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$\frac{\cot (A)}{\csc (A) + 1} = \sec (A) - \tan (A)$ es una identidad