Trigonometría Ejemplos

$\frac{\cot (x)}{1 + \csc (x)} = \frac{\csc (x) - 1}{\cot (x)}$

Step 1

Comienza por el lado izquierdo.

$\frac{\cot (x)}{1 + \csc (x)}$

Step 2

Multiplica $\frac{\cot (x)}{1 + \csc (x)}$ por $\frac{1 - \csc (x)}{1 - \csc (x)}$ .

$\frac{\cot (x)}{1 + \csc (x)} \cdot \frac{1 - \csc (x)}{1 - \csc (x)}$

Step 3

Combinar.

$\frac{\cot (x) (1 - \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

Step 4

Simplifica el numerador.

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Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\cot (x) \cdot 1 + \cot (x) (- \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

Multiplica $\cot (x)$ por $1$ .

$\frac{\cot (x) + \cot (x) (- \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

Reordena los factores en $\cot (x) + \cot (x) (- \csc (x))$ .

$\frac{\cot (x) - \cot (x) \csc (x)}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

Step 5

Simplifica el denominador.

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Expande $(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\cot (x) - \cot (x) \csc (x)}{1 (1 - \csc (x)) + \csc (x) (1 - \csc (x))}$

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\cot (x) - \cot (x) \csc (x)}{1 \cdot 1 + 1 (- \csc (x)) + \csc (x) (1 - \csc (x))}$

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\cot (x) - \cot (x) \csc (x)}{1 \cdot 1 + 1 (- \csc (x)) + \csc (x) \cdot 1 + \csc (x) (- \csc (x))}$

Simplifica y combina los términos similares.

$\frac{\cot (x) - \cot (x) \csc (x)}{1 - \csc^{2} (x)}$

Step 6

Aplica la identidad pitagórica.

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Reordena $1$ y $- \csc^{2} (x)$ .

$\frac{\cot (x) - \cot (x) \csc (x)}{- \csc^{2} (x) + 1}$

Factoriza $- 1$ de $- \csc^{2} (x)$ .

$\frac{\cot (x) - \cot (x) \csc (x)}{- (\csc^{2} (x)) + 1}$

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{\cot (x) - \cot (x) \csc (x)}{- \csc^{2} (x) - 1 \cdot - 1}$

Factoriza $- 1$ de $- \csc^{2} (x) - 1 \cdot - 1$ .

$\frac{\cot (x) - \cot (x) \csc (x)}{- (\csc^{2} (x) - 1)}$

Aplica la identidad pitagórica.

$\frac{\cot (x) - \cot (x) \csc (x)}{- \cot^{2} (x)}$

Step 7

Convierte a senos y cosenos.

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Escribe $\cot (x)$ en senos y cosenos mediante la identidad del cociente.

$\frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \cot (x) \csc (x)}{- \cot^{2} (x)}$

Escribe $\cot (x)$ en senos y cosenos mediante la identidad del cociente.

$\frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \csc (x)}{- \cot^{2} (x)}$

Aplica la identidad recíproca a $\csc (x)$ .

$\frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}}{- \cot^{2} (x)}$

Escribe $\cot (x)$ en senos y cosenos mediante la identidad del cociente.

$\frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}}{- {(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2}}$

Aplica la regla del producto a $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}}{- \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}}$

Step 8

Simplifica.

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Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}) (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

Multiplica $- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$ .

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Multiplica $\frac{1}{\sin (x)}$ por $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x) \sin (x)}) (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1} \sin (x)}) (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}}) (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1 + 1}}) (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

Suma $1$ y $1$ .

$(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}}) (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

Para escribir $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}}) (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

Escribe cada expresión con un denominador común de ${\sin (x)}^{2}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Multiplica $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ por $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$(\frac{\cos (x) \sin (x)}{\sin (x) \sin (x)} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}}) (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$(\frac{\cos (x) \sin (x)}{{\sin (x)}^{1} \sin (x)} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}}) (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$(\frac{\cos (x) \sin (x)}{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}}) (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(\frac{\cos (x) \sin (x)}{{\sin (x)}^{1 + 1}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}}) (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

Suma $1$ y $1$ .

$(\frac{\cos (x) \sin (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}}) (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\cos (x) \sin (x) - \cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

Factoriza $\cos (x)$ de $\cos (x) \sin (x) - \cos (x)$ .

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Factoriza $\cos (x)$ de $\cos (x) \sin (x)$ .

$\frac{\cos (x) (\sin (x)) - \cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

Factoriza $\cos (x)$ de $- \cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) (\sin (x)) + \cos (x) \cdot - 1}{{\sin (x)}^{2}} (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

Factoriza $\cos (x)$ de $\cos (x) (\sin (x)) + \cos (x) \cdot - 1$ .

$\frac{\cos (x) (\sin (x) - 1)}{{\sin (x)}^{2}} (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

Cancela el factor común de $\cos (x)$ .

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Mueve el signo menos inicial en $- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ al numerador.

$\frac{\cos (x) (\sin (x) - 1)}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{- {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$

Factoriza $\cos (x)$ de ${\cos (x)}^{2}$ .

$\frac{\cos (x) (\sin (x) - 1)}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{- {\sin (x)}^{2}}{\cos (x) \cos (x)}$

Cancela el factor común.

$\frac{\cos (x) (\sin (x) - 1)}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{- {\sin (x)}^{2}}{\cos (x) \cos (x)}$

Reescribe la expresión.

$\frac{\sin (x) - 1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{- {\sin (x)}^{2}}{\cos (x)}$

Cancela el factor común de ${\sin (x)}^{2}$ .

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Factoriza ${\sin (x)}^{2}$ de $- {\sin (x)}^{2}$ .

$\frac{\sin (x) - 1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{{\sin (x)}^{2} \cdot - 1}{\cos (x)}$

Cancela el factor común.

$\frac{\sin (x) - 1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{{\sin (x)}^{2} \cdot - 1}{\cos (x)}$

Reescribe la expresión.

$(\sin (x) - 1) \frac{- 1}{\cos (x)}$

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$(\sin (x) - 1) (- \frac{1}{\cos (x)})$

Aplica la propiedad distributiva.

$\sin (x) (- \frac{1}{\cos (x)}) - 1 (- \frac{1}{\cos (x)})$

Combina $\sin (x)$ y $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 1 (- \frac{1}{\cos (x)})$

Multiplica $- 1 (- \frac{1}{\cos (x)})$ .

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)}$

Step 9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- \sin (x) + 1}{\cos (x)}$

Step 10

Reordena los términos.

$\frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)}$

Step 11

Ahora considera el lado derecho de la ecuación.

$\frac{\csc (x) - 1}{\cot (x)}$

Step 12

Convierte a senos y cosenos.

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Aplica la identidad recíproca a $\csc (x)$ .

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} - 1}{\cot (x)}$

Escribe $\cot (x)$ en senos y cosenos mediante la identidad del cociente.

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} - 1}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Step 13

Simplifica.

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Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$(\frac{1}{\sin (x)} - 1) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Cancela el factor común de $\sin (x)$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{\cos (x)} - 1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Reescribe $- 1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ como $- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Step 14

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)}$

Step 15

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$\frac{\cot (x)}{1 + \csc (x)} = \frac{\csc (x) - 1}{\cot (x)}$ es una identidad