Trigonometría Ejemplos

$\cos^{2} (5 x) - \sin^{2} (5 x) = \cos (10 x)$

Step 1

Comienza por el lado izquierdo.

$\cos^{2} (5 x) - \sin^{2} (5 x)$

Step 2

Simplifica la expresión.

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Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = \cos (5 x)$ y $b = \sin (5 x)$ .

$(\cos (5 x) + \sin (5 x)) (\cos (5 x) - \sin (5 x))$

Expande $(\cos (5 x) + \sin (5 x)) (\cos (5 x) - \sin (5 x))$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Aplica la propiedad distributiva.

$\cos (5 x) (\cos (5 x) - \sin (5 x)) + \sin (5 x) (\cos (5 x) - \sin (5 x))$

Aplica la propiedad distributiva.

$\cos (5 x) \cos (5 x) + \cos (5 x) (- \sin (5 x)) + \sin (5 x) (\cos (5 x) - \sin (5 x))$

Aplica la propiedad distributiva.

$\cos (5 x) \cos (5 x) + \cos (5 x) (- \sin (5 x)) + \sin (5 x) \cos (5 x) + \sin (5 x) (- \sin (5 x))$

Combina los términos opuestos en $\cos (5 x) \cos (5 x) + \cos (5 x) (- \sin (5 x)) + \sin (5 x) \cos (5 x) + \sin (5 x) (- \sin (5 x))$ .

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Reordena los factores en los términos $\cos (5 x) (- \sin (5 x))$ y $\sin (5 x) \cos (5 x)$ .

$\cos (5 x) \cos (5 x) - \cos (5 x) \sin (5 x) + \cos (5 x) \sin (5 x) + \sin (5 x) (- \sin (5 x))$

Suma $- \cos (5 x) \sin (5 x)$ y $\cos (5 x) \sin (5 x)$ .

$\cos (5 x) \cos (5 x) + 0 + \sin (5 x) (- \sin (5 x))$

Suma $\cos (5 x) \cos (5 x)$ y $0$ .

$\cos (5 x) \cos (5 x) + \sin (5 x) (- \sin (5 x))$

Simplifica cada término.

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Multiplica $\cos (5 x) \cos (5 x)$ .

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Eleva $\cos (5 x)$ a la potencia de $1$ .

$\cos^{1} (5 x) \cos (5 x) + \sin (5 x) (- \sin (5 x))$

Eleva $\cos (5 x)$ a la potencia de $1$ .

$\cos^{1} (5 x) \cos^{1} (5 x) + \sin (5 x) (- \sin (5 x))$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

${\cos (5 x)}^{1 + 1} + \sin (5 x) (- \sin (5 x))$

Suma $1$ y $1$ .

$\cos^{2} (5 x) + \sin (5 x) (- \sin (5 x))$

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\cos^{2} (5 x) - \sin (5 x) \sin (5 x)$

Multiplica $- \sin (5 x) \sin (5 x)$ .

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Eleva $\sin (5 x)$ a la potencia de $1$ .

$\cos^{2} (5 x) - (\sin^{1} (5 x) \sin (5 x))$

Eleva $\sin (5 x)$ a la potencia de $1$ .

$\cos^{2} (5 x) - (\sin^{1} (5 x) \sin^{1} (5 x))$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\cos^{2} (5 x) - {\sin (5 x)}^{1 + 1}$

Suma $1$ y $1$ .

$\cos^{2} (5 x) - \sin^{2} (5 x)$

Aplica la razón del ángulo doble del coseno.

$\cos (2 (5 x))$

Multiplica $5$ por $2$ .

$\cos (10 x)$

Step 3

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$\cos^{2} (5 x) - \sin^{2} (5 x) = \cos (10 x)$ es una identidad