Trigonometría Ejemplos

$\tan^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) + 1 = \sec^{4} (x)$

Step 1

Comienza por el lado izquierdo.

$\tan^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) + 1$

Step 2

Convierte a senos y cosenos.

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Escribe $\tan (x)$ en senos y cosenos mediante la identidad del cociente.

${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{4} + 2 \tan^{2} (x) + 1$

Escribe $\tan (x)$ en senos y cosenos mediante la identidad del cociente.

${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{4} + 2 {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} + 1$

Aplica la regla del producto a $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin^{4} (x)}{\cos^{4} (x)} + 2 {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} + 1$

Aplica la regla del producto a $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin^{4} (x)}{\cos^{4} (x)} + 2 \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 1$

Step 3

Simplifica.

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Combina $2$ y $\frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ .

$\frac{{\sin (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{4}} + \frac{2 {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + 1$

Para escribir $\frac{2 {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ .

$\frac{{\sin (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{4}} + \frac{2 {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + 1$

Escribe cada expresión con un denominador común de ${\cos (x)}^{4}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Multiplica $\frac{2 {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ por $\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ .

$\frac{{\sin (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{4}} + \frac{2 {\sin (x)}^{2} {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\cos (x)}^{2}} + 1$

Multiplica ${\cos (x)}^{2}$ por ${\cos (x)}^{2}$ sumando los exponentes.

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Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{{\sin (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{4}} + \frac{2 {\sin (x)}^{2} {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2 + 2}} + 1$

Suma $2$ y $2$ .

$\frac{{\sin (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{4}} + \frac{2 {\sin (x)}^{2} {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{4}} + 1$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{{\sin (x)}^{4} + 2 {\sin (x)}^{2} {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{4}} + 1$

Factoriza ${\sin (x)}^{2}$ de ${\sin (x)}^{4} + 2 {\sin (x)}^{2} {\cos (x)}^{2}$ .

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Factoriza ${\sin (x)}^{2}$ de ${\sin (x)}^{4}$ .

$\frac{{\sin (x)}^{2} {\sin (x)}^{2} + 2 {\sin (x)}^{2} {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{4}} + 1$

Factoriza ${\sin (x)}^{2}$ de $2 {\sin (x)}^{2} {\cos (x)}^{2}$ .

$\frac{{\sin (x)}^{2} {\sin (x)}^{2} + {\sin (x)}^{2} (2 {\cos (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{4}} + 1$

Factoriza ${\sin (x)}^{2}$ de ${\sin (x)}^{2} {\sin (x)}^{2} + {\sin (x)}^{2} (2 {\cos (x)}^{2})$ .

$\frac{{\sin (x)}^{2} ({\sin (x)}^{2} + 2 {\cos (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{4}} + 1$

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{{\sin (x)}^{2} ({\sin (x)}^{2} + 2 {\cos (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{4}} + \frac{{\cos (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{4}}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{{\sin (x)}^{2} ({\sin (x)}^{2} + 2 {\cos (x)}^{2}) + {\cos (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{4}}$

Simplifica el numerador.

$\frac{{(\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))}^{2}}{\cos^{4} (x)}$

Step 4

Aplica la identidad pitagórica.

$\frac{1^{2}}{\cos^{4} (x)}$

Step 5

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{\cos^{4} (x)}$

Step 6

Reescribe $\frac{1}{\cos^{4} (x)}$ como $\sec^{4} (x)$ .

$\sec^{4} (x)$

Step 7

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$\tan^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) + 1 = \sec^{4} (x)$ es una identidad