Trigonometría Ejemplos

$\frac{\sin (x + y) + \sin (x - y)}{\cos (x + y) + \cos (x - y)} = \tan (x)$

Step 1

Comienza por el lado izquierdo.

$\frac{\sin (x + y) + \sin (x - y)}{\cos (x + y) + \cos (x - y)}$

Step 2

Aplica la suma de la razón de los ángulos.

$\frac{\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y) + \sin (x - y)}{\cos (x + y) + \cos (x - y)}$

Step 3

Aplica la suma de la razón de los ángulos.

$\frac{\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y) + \sin (x) \cos (- y) + \cos (x) \sin (- y)}{\cos (x + y) + \cos (x - y)}$

Step 4

Aplica la suma de la razón de los ángulos $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ .

$\frac{\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y) + \sin (x) \cos (- y) + \cos (x) \sin (- y)}{\cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y) + \cos (x - y)}$

Step 5

Aplica la suma de la razón de los ángulos $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ .

$\frac{\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y) + \sin (x) \cos (- y) + \cos (x) \sin (- y)}{\cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y) + \cos (x) \cos (- y) - \sin (x) \sin (- y)}$

Step 6

Simplifica la expresión.

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Simplifica el numerador.

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Como $\cos (- y)$ es una función par, reescribe $\cos (- y)$ como $\cos (y)$ .

$\frac{\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y) + \sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (- y)}{\cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y) + \cos (x) \cos (- y) - \sin (x) \sin (- y)}$

Como $\sin (- y)$ es una función impar, reescribe $\sin (- y)$ como $- \sin (y)$ .

$\frac{\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y) + \sin (x) \cos (y) + \cos (x) (- \sin (y))}{\cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y) + \cos (x) \cos (- y) - \sin (x) \sin (- y)}$

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y) + \sin (x) \cos (y) - \cos (x) \sin (y)}{\cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y) + \cos (x) \cos (- y) - \sin (x) \sin (- y)}$

Suma $\sin (x) \cos (y)$ y $\sin (x) \cos (y)$ .

$\frac{2 \sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y) - \cos (x) \sin (y)}{\cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y) + \cos (x) \cos (- y) - \sin (x) \sin (- y)}$

Resta $\cos (x) \sin (y)$ de $\cos (x) \sin (y)$ .

$\frac{2 \sin (x) \cos (y) + 0}{\cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y) + \cos (x) \cos (- y) - \sin (x) \sin (- y)}$

Suma $2 \sin (x) \cos (y)$ y $0$ .

$\frac{2 \sin (x) \cos (y)}{\cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y) + \cos (x) \cos (- y) - \sin (x) \sin (- y)}$

Simplifica el denominador.

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Como $\cos (- y)$ es una función par, reescribe $\cos (- y)$ como $\cos (y)$ .

$\frac{2 \sin (x) \cos (y)}{\cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y) + \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (- y)}$

Como $\sin (- y)$ es una función impar, reescribe $\sin (- y)$ como $- \sin (y)$ .

$\frac{2 \sin (x) \cos (y)}{\cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y) + \cos (x) \cos (y) - \sin (x) (- \sin (y))}$

Multiplica $- \sin (x) (- \sin (y))$ .

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Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{2 \sin (x) \cos (y)}{\cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y) + \cos (x) \cos (y) + 1 \sin (x) \sin (y)}$

Multiplica $\sin (x)$ por $1$ .

$\frac{2 \sin (x) \cos (y)}{\cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y) + \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)}$

Suma $\cos (x) \cos (y)$ y $\cos (x) \cos (y)$ .

$\frac{2 \sin (x) \cos (y)}{2 \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y) + \sin (x) \sin (y)}$

Suma $- \sin (x) \sin (y)$ y $\sin (x) \sin (y)$ .

$\frac{2 \sin (x) \cos (y)}{2 \cos (x) \cos (y) + 0}$

Suma $2 \cos (x) \cos (y)$ y $0$ .

$\frac{2 \sin (x) \cos (y)}{2 \cos (x) \cos (y)}$

Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{2 \sin (x) \cos (y)}{2 \cos (x) \cos (y)}$

Reescribe la expresión.

$\frac{\sin (x) \cos (y)}{\cos (x) \cos (y)}$

Cancela el factor común de $\cos (y)$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{\sin (x) \cos (y)}{\cos (x) \cos (y)}$

Reescribe la expresión.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Convierte de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$\tan (x)$

Step 7

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$\frac{\sin (x + y) + \sin (x - y)}{\cos (x + y) + \cos (x - y)} = \tan (x)$ es una identidad