Trigonometría Ejemplos

$\cos^{2} (22.5)$

Step 1

El valor exacto de $\cos (22.5)$ es $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

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Reescribe $22.5$ como un ángulo donde se conozcan los valores de las seis funciones trigonométricas dividido por $2$ .

$\cos^{2} (\frac{45}{2})$

Aplica la razón del ángulo mitad del coseno $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

${(\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (45)}{2}})}^{2}$

Cambia $\pm$ por $+$ porque el coseno es positivo en el primer cuadrante.

${\sqrt{\frac{1 + \cos (45)}{2}}}^{2}$

El valor exacto de $\cos (45)$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

${\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}^{2}$

Simplifica $\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$ .

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Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

${\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}^{2}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

${\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}}}^{2}$

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

${\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}}^{2}$

Multiplica $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Multiplica $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

${\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}}^{2}$

Multiplica $2$ por $2$ .

${\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}}^{2}$

Reescribe $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ como $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

${(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}})}^{2}$

Simplifica el denominador.

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Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

${(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}})}^{2}$

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

${(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2})}^{2}$

Step 2

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

$\frac{{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}}{2^{2}}$

Step 3

Reescribe ${\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}$ como $2 + \sqrt{2}$ .

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Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2 + \sqrt{2}}$ como ${(2 + \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{({(2 + \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}$

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(2 + \sqrt{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}$

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{{(2 + \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{{(2 + \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Reescribe la expresión.

$\frac{{(2 + \sqrt{2})}^{1}}{2^{2}}$

Simplifica.

$\frac{2 + \sqrt{2}}{2^{2}}$

Step 4

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{2 + \sqrt{2}}{4}$

Step 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{2 + \sqrt{2}}{4}$

Forma decimal:

$0.85355339 \dots$