Trigonometría Ejemplos

$\sin^{2} (75)$

Step 1

El valor exacto de $\sin (75)$ es $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

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Divide $75$ en dos ángulos donde se conozcan los valores de las seis funciones trigonométricas.

$\sin^{2} (30 + 45)$

Aplica la suma de la razón de los ángulos.

${(\sin (30) \cos (45) + \cos (30) \sin (45))}^{2}$

El valor exacto de $\sin (30)$ es $\frac{1}{2}$ .

${(\frac{1}{2} \cos (45) + \cos (30) \sin (45))}^{2}$

El valor exacto de $\cos (45)$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

${(\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (30) \sin (45))}^{2}$

El valor exacto de $\cos (30)$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

${(\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (45))}^{2}$

El valor exacto de $\sin (45)$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

${(\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Simplifica $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Simplifica cada término.

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Multiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

${(\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Multiplica $2$ por $2$ .

${(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Multiplica $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Multiplica $\frac{\sqrt{3}}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

${(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2})}^{2}$

Combina con la regla del producto para radicales.

${(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2})}^{2}$

Multiplica $3$ por $2$ .

${(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2})}^{2}$

Multiplica $2$ por $2$ .

${(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4})}^{2}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

${(\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4})}^{2}$

Step 2

Simplifica la expresión.

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Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

$\frac{{(\sqrt{2} + \sqrt{6})}^{2}}{4^{2}}$

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\frac{{(\sqrt{2} + \sqrt{6})}^{2}}{16}$

Reescribe ${(\sqrt{2} + \sqrt{6})}^{2}$ como $(\sqrt{2} + \sqrt{6}) (\sqrt{2} + \sqrt{6})$ .

$\frac{(\sqrt{2} + \sqrt{6}) (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{16}$

Step 3

Expande $(\sqrt{2} + \sqrt{6}) (\sqrt{2} + \sqrt{6})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{2} (\sqrt{2} + \sqrt{6}) + \sqrt{6} (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{16}$

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{16}$

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

Step 4

Simplifica y combina los términos similares.

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Simplifica cada término.

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Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{\sqrt{2 \cdot 2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{4} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2}} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{2 + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{2 + \sqrt{2 \cdot 6} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

Multiplica $2$ por $6$ .

$\frac{2 + \sqrt{12} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Factoriza $4$ de $12$ .

$\frac{2 + \sqrt{4 (3)} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{2 + \sqrt{2^{2} \cdot 3} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{2 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{2 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{6 \cdot 2} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

Multiplica $6$ por $2$ .

$\frac{2 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{12} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Factoriza $4$ de $12$ .

$\frac{2 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{4 (3)} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{2 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{2^{2} \cdot 3} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{2 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{2 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{6 \cdot 6}}{16}$

Multiplica $6$ por $6$ .

$\frac{2 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{36}}{16}$

Reescribe $36$ como $6^{2}$ .

$\frac{2 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{6^{2}}}{16}$

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{2 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 6}{16}$

Suma $2$ y $6$ .

$\frac{8 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3}}{16}$

Suma $2 \sqrt{3}$ y $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{8 + 4 \sqrt{3}}{16}$

Step 5

Cancela el factor común de $8 + 4 \sqrt{3}$ y $16$ .

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Factoriza $4$ de $8$ .

$\frac{4 \cdot 2 + 4 \sqrt{3}}{16}$

Factoriza $4$ de $4 \sqrt{3}$ .

$\frac{4 \cdot 2 + 4 (\sqrt{3})}{16}$

Factoriza $4$ de $4 \cdot 2 + 4 (\sqrt{3})$ .

$\frac{4 \cdot (2 + \sqrt{3})}{16}$

Cancela los factores comunes.

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Factoriza $4$ de $16$ .

$\frac{4 \cdot (2 + \sqrt{3})}{4 (4)}$

Cancela el factor común.

$\frac{4 \cdot (2 + \sqrt{3})}{4 \cdot 4}$

Reescribe la expresión.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4}$

Step 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4}$

Forma decimal:

$0.93301270 \dots$