Trigonometría Ejemplos

$\tan (2 \arccos (x))$

Step 1

Aplica la razón del ángulo doble tangente.

$\frac{2 \tan (\arccos (x))}{1 - \tan^{2} (\arccos (x))}$

Step 2

Simplifica el numerador.

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Dibuja un triángulo en el plano con los vértices $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ , $(x, 0)$ y el origen. Entonces $\arccos (x)$ es el ángulo entre el eje x positivo y el rayo que comienza en el origen y pasa por $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ . Por lo tanto, $\tan (\arccos (x))$ es $\frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{x}$ .

$\frac{2 \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{x}}{1 - \tan^{2} (\arccos (x))}$

Simplifica el numerador.

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Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{2 \frac{\sqrt{1^{2} - x^{2}}}{x}}{1 - \tan^{2} (\arccos (x))}$

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = x$ .

$\frac{2 \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{1 - \tan^{2} (\arccos (x))}$

Step 3

Simplifica el denominador.

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Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{2 \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{1^{2} - \tan^{2} (\arccos (x))}$

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = \tan (\arccos (x))$ .

$\frac{2 \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{(1 + \tan (\arccos (x))) (1 - \tan (\arccos (x)))}$

Simplifica.

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$\frac{2 \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{(1 + \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{x}) (1 - \tan (\arccos (x)))}$

Simplifica el numerador.

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Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{2 \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{(1 + \frac{\sqrt{1^{2} - x^{2}}}{x}) (1 - \tan (\arccos (x)))}$

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = x$ .

$\frac{2 \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{(1 + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}) (1 - \tan (\arccos (x)))}$

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{2 \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{(\frac{x}{x} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}) (1 - \tan (\arccos (x)))}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{x + \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x} (1 - \tan (\arccos (x)))}$

$\frac{2 \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{x + \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x} (1 - \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{x})}$

Simplifica el numerador.

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Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{2 \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{x + \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x} (1 - \frac{\sqrt{1^{2} - x^{2}}}{x})}$

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = x$ .

$\frac{2 \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{x + \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x} (1 - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x})}$

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{2 \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{x + \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x} (\frac{x}{x} - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x})}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{x + \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x} \cdot \frac{x - \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}$

Step 4

Combina fracciones.

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Combina $2$ y $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{x + \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x} \cdot \frac{x - \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}$

Multiplica $\frac{x + \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}$ por $\frac{x - \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{(x + \sqrt{(1 + x) (1 - x)}) (x - \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}{x \cdot x}}$

Step 5

Simplifica el denominador.

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Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{(x + \sqrt{(1 + x) (1 - x)}) (x - \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}{x^{1} x}}$

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{(x + \sqrt{(1 + x) (1 - x)}) (x - \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}{x^{1} x^{1}}}$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{(x + \sqrt{(1 + x) (1 - x)}) (x - \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}{x^{1 + 1}}}$

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{(x + \sqrt{(1 + x) (1 - x)}) (x - \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}{x^{2}}}$

Step 6

Simplifica el denominador.

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Expande $(x + \sqrt{(1 + x) (1 - x)}) (x - \sqrt{(1 + x) (1 - x)})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{x (x - \sqrt{(1 + x) (1 - x)}) + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} (x - \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}{x^{2}}}$

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{x \cdot x + x (- \sqrt{(1 + x) (1 - x)}) + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} (x - \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}{x^{2}}}$

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{x \cdot x + x (- \sqrt{(1 + x) (1 - x)}) + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} x + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} (- \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}{x^{2}}}$

Combina los términos opuestos en $x \cdot x + x (- \sqrt{(1 + x) (1 - x)}) + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} x + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} (- \sqrt{(1 + x) (1 - x)})$ .

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Reordena los factores en los términos $x (- \sqrt{(1 + x) (1 - x)})$ y $\sqrt{(1 + x) (1 - x)} x$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{x \cdot x - x \sqrt{(1 + x) (1 - x)} + x \sqrt{(1 + x) (1 - x)} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} (- \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}{x^{2}}}$

Suma $- x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ y $x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{x \cdot x + 0 + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} (- \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}{x^{2}}}$

Suma $x \cdot x$ y $0$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{x \cdot x + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} (- \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}{x^{2}}}$

Simplifica cada término.

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Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{x^{2} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} (- \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}{x^{2}}}$

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{x^{2} - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x^{2}}}$

Multiplica $- \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ .

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Eleva $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{x^{2} - ({\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}{x^{2}}}$

Eleva $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{x^{2} - ({\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1})}{x^{2}}}$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{x^{2} - {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1 + 1}}{x^{2}}}$

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{x^{2} - {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}}{x^{2}}}$

Reescribe ${\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$ como $(1 + x) (1 - x)$ .

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Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ como ${((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{x^{2} - {({((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{x^{2}}}$

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{x^{2} - {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{x^{2}}}$

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{x^{2} - {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}}{x^{2}}}$

Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{x^{2} - {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}}{x^{2}}}$

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{x^{2} - {((1 + x) (1 - x))}^{1}}{x^{2}}}$

Simplifica.

$\frac{\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{x^{2} - ((1 + x) (1 - x))}{x^{2}}}$

Expande $(1 + x) (1 - x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{x^{2} - (1 (1 - x) + x (1 - x))}{x^{2}}}$

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{x^{2} - (1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x))}{x^{2}}}$

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{x^{2} - (1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x))}{x^{2}}}$

Simplifica y combina los términos similares.

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Simplifica cada término.

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Multiplica $1$ por $1$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{x^{2} - (1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x))}{x^{2}}}$

Multiplica $- x$ por $1$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{x^{2} - (1 - x + x \cdot 1 + x (- x))}{x^{2}}}$

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{x^{2} - (1 - x + x + x (- x))}{x^{2}}}$

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{x^{2} - (1 - x + x - x \cdot x)}{x^{2}}}$

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Mueve $x$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{x^{2} - (1 - x + x - (x \cdot x))}{x^{2}}}$

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{x^{2} - (1 - x + x - x^{2})}{x^{2}}}$

Suma $- x$ y $x$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{x^{2} - (1 + 0 - x^{2})}{x^{2}}}$

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{x^{2} - (1 - x^{2})}{x^{2}}}$

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{x^{2} - 1 \cdot 1 - - x^{2}}{x^{2}}}$

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{x^{2} - 1 - - x^{2}}{x^{2}}}$

Multiplica $- - x^{2}$ .

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Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{x^{2} - 1 + 1 x^{2}}{x^{2}}}$

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{x^{2} - 1 + x^{2}}{x^{2}}}$

Suma $x^{2}$ y $x^{2}$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{2 x^{2} - 1}{x^{2}}}$

Step 7

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x} \cdot \frac{x^{2}}{2 x^{2} - 1}$

Step 8

Cancela el factor común de $x$ .

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Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x} \cdot \frac{x \cdot x}{2 x^{2} - 1}$

Cancela el factor común.

$\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x} \cdot \frac{x \cdot x}{2 x^{2} - 1}$

Reescribe la expresión.

$2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \frac{x}{2 x^{2} - 1}$

Step 9

Combina $\frac{x}{2 x^{2} - 1}$ y $2$ .

$\frac{x \cdot 2}{2 x^{2} - 1} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

Step 10

Combina $\frac{x \cdot 2}{2 x^{2} - 1}$ y $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ .

$\frac{x \cdot 2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{2 x^{2} - 1}$

Step 11

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{2 x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{2 x^{2} - 1}$