Trigonometría Ejemplos

$\sin (67.5) \cos (22.5)$

Step 1

El valor exacto de $\sin (67.5)$ es $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Reescribe $67.5$ como un ángulo donde se conozcan los valores de las seis funciones trigonométricas dividido por $2$ .

$\sin (\frac{135}{2}) \cos (22.5)$

Aplica la razón del ángulo mitad del seno.

$(\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (135)}{2}}) \cos (22.5)$

Cambia $\pm$ por $+$ porque el seno es positivo en el primer cuadrante.

$\sqrt{\frac{1 - \cos (135)}{2}} \cos (22.5)$

Simplifica $\sqrt{\frac{1 - \cos (135)}{2}}$ .

Toca para ver más pasos...

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el segundo cuadrante.

$\sqrt{\frac{1 - - \cos (45)}{2}} \cos (22.5)$

El valor exacto de $\cos (45)$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} \cos (22.5)$

Multiplica $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} \cos (22.5)$

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $1$ .

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} \cos (22.5)$

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} \cos (22.5)$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}} \cos (22.5)$

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}} \cos (22.5)$

Multiplica $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Multiplica $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}} \cos (22.5)$

Multiplica $2$ por $2$ .

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} \cos (22.5)$

Reescribe $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ como $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}} \cos (22.5)$

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}} \cos (22.5)$

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \cos (22.5)$

Step 2

El valor exacto de $\cos (22.5)$ es $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Reescribe $22.5$ como un ángulo donde se conozcan los valores de las seis funciones trigonométricas dividido por $2$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \cos (\frac{45}{2})$

Aplica la razón del ángulo mitad del coseno $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (45)}{2}})$

Cambia $\pm$ por $+$ porque el coseno es positivo en el primer cuadrante.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{1 + \cos (45)}{2}}$

El valor exacto de $\cos (45)$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Simplifica $\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$ .

Toca para ver más pasos...

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}}$

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

Multiplica $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Multiplica $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}$

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$

Reescribe $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ como $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}$

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

Step 3

Multiplica $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Multiplica $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ por $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2 \cdot 2}$

Eleva $\sqrt{2 + \sqrt{2}}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{1} \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2 \cdot 2}$

Eleva $\sqrt{2 + \sqrt{2}}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{1} {\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{1}}{2 \cdot 2}$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}}{2 \cdot 2}$

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}}{4}$

Step 4

Reescribe ${\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}$ como $2 + \sqrt{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2 + \sqrt{2}}$ como ${(2 + \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{({(2 + \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(2 + \sqrt{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{{(2 + \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}{4}$

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común.

$\frac{{(2 + \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}{4}$

Reescribe la expresión.

$\frac{{(2 + \sqrt{2})}^{1}}{4}$

Simplifica.

$\frac{2 + \sqrt{2}}{4}$

Step 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{2 + \sqrt{2}}{4}$

Forma decimal:

$0.85355339 \dots$