Trigonometría Ejemplos

$\sin (15) \cos (45) \cos (15) \sin (45)$

Step 1

El valor exacto de $\sin (15)$ es $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

Toca para ver más pasos...

Divide $15$ en dos ángulos donde se conozcan los valores de las seis funciones trigonométricas.

$\sin (45 - 30) \cos (45) \cos (15) \sin (45)$

Separa la negación.

$\sin (45 - (30)) \cos (45) \cos (15) \sin (45)$

Aplica la diferencia de la razón de los ángulos.

$(\sin (45) \cos (30) - \cos (45) \sin (30)) \cos (45) \cos (15) \sin (45)$

El valor exacto de $\sin (45)$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) - \cos (45) \sin (30)) \cos (45) \cos (15) \sin (45)$

El valor exacto de $\cos (30)$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (45) \sin (30)) \cos (45) \cos (15) \sin (45)$

El valor exacto de $\cos (45)$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30)) \cos (45) \cos (15) \sin (45)$

El valor exacto de $\sin (30)$ es $\frac{1}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (45) \cos (15) \sin (45)$

Simplifica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (45) \cos (15) \sin (45)$

Combina con la regla del producto para radicales.

$(\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (45) \cos (15) \sin (45)$

Multiplica $2$ por $3$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (45) \cos (15) \sin (45)$

Multiplica $2$ por $2$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (45) \cos (15) \sin (45)$

Multiplica $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \cos (45) \cos (15) \sin (45)$

Multiplica $2$ por $2$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}) \cos (45) \cos (15) \sin (45)$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cos (45) \cos (15) \sin (45)$

Step 2

El valor exacto de $\cos (45)$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cos (15) \sin (45)$

Step 3

Multiplica $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Multiplica $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{4 \cdot 2} \cos (15) \sin (45)$

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{8} \cos (15) \sin (45)$

Step 4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} \cos (15) \sin (45)$

Step 5

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{\sqrt{6 \cdot 2} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} \cos (15) \sin (45)$

Step 6

Multiplica $- \sqrt{2} \sqrt{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sqrt{6 \cdot 2} - ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{8} \cos (15) \sin (45)$

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sqrt{6 \cdot 2} - ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{8} \cos (15) \sin (45)$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\sqrt{6 \cdot 2} - {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{8} \cos (15) \sin (45)$

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\sqrt{6 \cdot 2} - {\sqrt{2}}^{2}}{8} \cos (15) \sin (45)$

Step 7

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Multiplica $6$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{12} - {\sqrt{2}}^{2}}{8} \cos (15) \sin (45)$

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

Toca para ver más pasos...

Factoriza $4$ de $12$ .

$\frac{\sqrt{4 (3)} - {\sqrt{2}}^{2}}{8} \cos (15) \sin (45)$

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 3} - {\sqrt{2}}^{2}}{8} \cos (15) \sin (45)$

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{2 \sqrt{3} - {\sqrt{2}}^{2}}{8} \cos (15) \sin (45)$

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toca para ver más pasos...

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{3} - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{8} \cos (15) \sin (45)$

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{3} - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{8} \cos (15) \sin (45)$

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{2 \sqrt{3} - 2^{\frac{2}{2}}}{8} \cos (15) \sin (45)$

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común.

$\frac{2 \sqrt{3} - 2^{\frac{2}{2}}}{8} \cos (15) \sin (45)$

Reescribe la expresión.

$\frac{2 \sqrt{3} - 2^{1}}{8} \cos (15) \sin (45)$

Evalúa el exponente.

$\frac{2 \sqrt{3} - 1 \cdot 2}{8} \cos (15) \sin (45)$

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{2 \sqrt{3} - 2}{8} \cos (15) \sin (45)$

Step 8

Cancela el factor común de $2 \sqrt{3} - 2$ y $8$ .

Toca para ver más pasos...

Factoriza $2$ de $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 (\sqrt{3}) - 2}{8} \cos (15) \sin (45)$

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\frac{2 (\sqrt{3}) + 2 (- 1)}{8} \cos (15) \sin (45)$

Factoriza $2$ de $2 (\sqrt{3}) + 2 (- 1)$ .

$\frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{8} \cos (15) \sin (45)$

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Factoriza $2$ de $8$ .

$\frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{2 (4)} \cos (15) \sin (45)$

Cancela el factor común.

$\frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{2 \cdot 4} \cos (15) \sin (45)$

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} \cos (15) \sin (45)$

Step 9

El valor exacto de $\cos (15)$ es $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

Toca para ver más pasos...

Divide $15$ en dos ángulos donde se conozcan los valores de las seis funciones trigonométricas.

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} \cos (45 - 30) \sin (45)$

Separa la negación.

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} \cos (45 - (30)) \sin (45)$

Aplica la diferencia de la razón de los ángulos $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} (\cos (45) \cos (30) + \sin (45) \sin (30)) \sin (45)$

El valor exacto de $\cos (45)$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) + \sin (45) \sin (30)) \sin (45)$

El valor exacto de $\cos (30)$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (45) \sin (30)) \sin (45)$

El valor exacto de $\sin (45)$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30)) \sin (45)$

El valor exacto de $\sin (30)$ es $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (45)$

Simplifica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (45)$

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (45)$

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (45)$

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (45)$

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \sin (45)$

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}) \sin (45)$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \sin (45)$

Step 10

Multiplica $\frac{\sqrt{3} - 1}{4} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

Toca para ver más pasos...

Multiplica $\frac{\sqrt{3} - 1}{4}$ por $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

$\frac{(\sqrt{3} - 1) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4 \cdot 4} \sin (45)$

Multiplica $4$ por $4$ .

$\frac{(\sqrt{3} - 1) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{16} \sin (45)$

Step 11

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Expande $(\sqrt{3} - 1) (\sqrt{6} + \sqrt{2})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{3} (\sqrt{6} + \sqrt{2}) - 1 (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{16} \sin (45)$

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{6} + \sqrt{3} \sqrt{2} - 1 (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{16} \sin (45)$

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{6} + \sqrt{3} \sqrt{2} - 1 \sqrt{6} - 1 \sqrt{2}}{16} \sin (45)$

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{\sqrt{3 \cdot 6} + \sqrt{3} \sqrt{2} - 1 \sqrt{6} - 1 \sqrt{2}}{16} \sin (45)$

Multiplica $3$ por $6$ .

$\frac{\sqrt{18} + \sqrt{3} \sqrt{2} - 1 \sqrt{6} - 1 \sqrt{2}}{16} \sin (45)$

Reescribe $18$ como $3^{2} \cdot 2$ .

Toca para ver más pasos...

Factoriza $9$ de $18$ .

$\frac{\sqrt{9 (2)} + \sqrt{3} \sqrt{2} - 1 \sqrt{6} - 1 \sqrt{2}}{16} \sin (45)$

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 2} + \sqrt{3} \sqrt{2} - 1 \sqrt{6} - 1 \sqrt{2}}{16} \sin (45)$

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{3} \sqrt{2} - 1 \sqrt{6} - 1 \sqrt{2}}{16} \sin (45)$

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{3 \cdot 2} - 1 \sqrt{6} - 1 \sqrt{2}}{16} \sin (45)$

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6} - 1 \sqrt{6} - 1 \sqrt{2}}{16} \sin (45)$

Reescribe $- 1 \sqrt{6}$ como $- \sqrt{6}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6} - \sqrt{6} - 1 \sqrt{2}}{16} \sin (45)$

Reescribe $- 1 \sqrt{2}$ como $- \sqrt{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6} - \sqrt{6} - \sqrt{2}}{16} \sin (45)$

Resta $\sqrt{2}$ de $3 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{6} - \sqrt{6}}{16} \sin (45)$

Resta $\sqrt{6}$ de $\sqrt{6}$ .

$\frac{2 \sqrt{2} + 0}{16} \sin (45)$

Suma $2 \sqrt{2}$ y $0$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{16} \sin (45)$

Step 12

Cancela el factor común de $2$ y $16$ .

Toca para ver más pasos...

Factoriza $2$ de $2 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (\sqrt{2})}{16} \sin (45)$

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Factoriza $2$ de $16$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 8} \sin (45)$

Cancela el factor común.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 8} \sin (45)$

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{2}}{8} \sin (45)$

Step 13

El valor exacto de $\sin (45)$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{8} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

Step 14

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{8} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{8}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{8 \cdot 2}$

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}{8 \cdot 2}$

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}{8 \cdot 2}$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}{8 \cdot 2}$

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{8 \cdot 2}$

Multiplica $8$ por $2$ .

$\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{16}$

Step 15

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toca para ver más pasos...

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{16}$

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{16}$

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{2^{\frac{2}{2}}}{16}$

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común.

$\frac{2^{\frac{2}{2}}}{16}$

Reescribe la expresión.

$\frac{2^{1}}{16}$

Evalúa el exponente.

$\frac{2}{16}$

Step 16

Cancela el factor común de $2$ y $16$ .

Toca para ver más pasos...

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (1)}{16}$

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Factoriza $2$ de $16$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 8}$

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 8}$

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{8}$

Step 17

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{1}{8}$

Forma decimal:

$0.125$