Trigonometría Ejemplos

$\sin (105) \sin (15)$

Step 1

El valor exacto de $\sin (105)$ es $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

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Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$\sin (75) \sin (15)$

Divide $75$ en dos ángulos donde se conozcan los valores de las seis funciones trigonométricas.

$\sin (30 + 45) \sin (15)$

Aplica la suma de la razón de los ángulos.

$(\sin (30) \cos (45) + \cos (30) \sin (45)) \sin (15)$

El valor exacto de $\sin (30)$ es $\frac{1}{2}$ .

$(\frac{1}{2} \cos (45) + \cos (30) \sin (45)) \sin (15)$

El valor exacto de $\cos (45)$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (30) \sin (45)) \sin (15)$

El valor exacto de $\cos (30)$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$(\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (45)) \sin (15)$

El valor exacto de $\sin (45)$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \sin (15)$

Simplifica $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Simplifica cada término.

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Multiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \sin (15)$

Multiplica $2$ por $2$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \sin (15)$

Multiplica $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Multiplica $\frac{\sqrt{3}}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \sin (15)$

Combina con la regla del producto para radicales.

$(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2}) \sin (15)$

Multiplica $3$ por $2$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2}) \sin (15)$

Multiplica $2$ por $2$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}) \sin (15)$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \sin (15)$

Step 2

El valor exacto de $\sin (15)$ es $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Divide $15$ en dos ángulos donde se conozcan los valores de las seis funciones trigonométricas.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \sin (45 - 30)$

Separa la negación.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \sin (45 - (30))$

Aplica la diferencia de la razón de los ángulos.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\sin (45) \cos (30) - \cos (45) \sin (30))$

El valor exacto de $\sin (45)$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) - \cos (45) \sin (30))$

El valor exacto de $\cos (30)$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (45) \sin (30))$

El valor exacto de $\cos (45)$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30))$

El valor exacto de $\sin (30)$ es $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Simplifica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Simplifica cada término.

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Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Multiplica $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})$

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4})$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

Step 3

Multiplica $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Multiplica $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ por $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

$\frac{(\sqrt{2} + \sqrt{6}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4 \cdot 4}$

Multiplica $4$ por $4$ .

$\frac{(\sqrt{2} + \sqrt{6}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{16}$

Step 4

Simplifica el numerador.

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Expande $(\sqrt{2} + \sqrt{6}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{2} (\sqrt{6} - \sqrt{2}) + \sqrt{6} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{16}$

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{16}$

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Simplifica y combina los términos similares.

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Simplifica cada término.

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Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{\sqrt{2 \cdot 6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Multiplica $2$ por $6$ .

$\frac{\sqrt{12} + \sqrt{2} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Factoriza $4$ de $12$ .

$\frac{\sqrt{4 (3)} + \sqrt{2} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 3} + \sqrt{2} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{2 \sqrt{3} + \sqrt{2} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Multiplica $\sqrt{2} (- \sqrt{2})$ .

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Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3} - ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3} - ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}) + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 \sqrt{3} - {\sqrt{2}}^{1 + 1} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3} - {\sqrt{2}}^{2} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{3} - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{3} - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{2 \sqrt{3} - 2^{\frac{2}{2}} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{2 \sqrt{3} - 2^{\frac{2}{2}} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Reescribe la expresión.

$\frac{2 \sqrt{3} - 2^{1} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Evalúa el exponente.

$\frac{2 \sqrt{3} - 1 \cdot 2 + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{2 \sqrt{3} - 2 + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{2 \sqrt{3} - 2 + \sqrt{6 \cdot 6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Multiplica $6$ por $6$ .

$\frac{2 \sqrt{3} - 2 + \sqrt{36} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Reescribe $36$ como $6^{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{3} - 2 + \sqrt{6^{2}} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{2 \sqrt{3} - 2 + 6 + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Multiplica $\sqrt{6} (- \sqrt{2})$ .

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Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{2 \sqrt{3} - 2 + 6 - \sqrt{6 \cdot 2}}{16}$

Multiplica $6$ por $2$ .

$\frac{2 \sqrt{3} - 2 + 6 - \sqrt{12}}{16}$

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Factoriza $4$ de $12$ .

$\frac{2 \sqrt{3} - 2 + 6 - \sqrt{4 (3)}}{16}$

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{3} - 2 + 6 - \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{16}$

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{2 \sqrt{3} - 2 + 6 - (2 \sqrt{3})}{16}$

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 \sqrt{3} - 2 + 6 - 2 \sqrt{3}}{16}$

Resta $2 \sqrt{3}$ de $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{0 - 2 + 6}{16}$

Resta $2$ de $0$ .

$\frac{- 2 + 6}{16}$

Suma $- 2$ y $6$ .

$\frac{4}{16}$

Step 5

Cancela el factor común de $4$ y $16$ .

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Factoriza $4$ de $4$ .

$\frac{4 (1)}{16}$

Cancela los factores comunes.

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Factoriza $4$ de $16$ .

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4}$

Cancela el factor común.

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4}$

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{4}$

Step 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{1}{4}$

Forma decimal:

$0.25$