Trigonometría Ejemplos

$z^{3} + 8 = 0$

Paso 1

Resta $8$ de ambos lados de la ecuación.

$z^{3} = - 8$

Paso 2

Suma $8$ a ambos lados de la ecuación.

$z^{3} + 8 = 0$

Paso 3

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.1

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$z^{3} + 2^{3} = 0$

Paso 3.2

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la suma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , donde $a = z$ y $b = 2$ .

$(z + 2) (z^{2} - z \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Paso 3.3

Simplifica.

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Paso 3.3.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$(z + 2) (z^{2} - 2 z + 2^{2}) = 0$

Paso 3.3.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$(z + 2) (z^{2} - 2 z + 4) = 0$

Paso 4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$z + 2 = 0$

$z^{2} - 2 z + 4 = 0$

Paso 5

Establece $z + 2$ igual a $0$ y resuelve $z$ .

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Paso 5.1

Establece $z + 2$ igual a $0$ .

$z + 2 = 0$

Paso 5.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$z = - 2$

Paso 6

Establece $z^{2} - 2 z + 4$ igual a $0$ y resuelve $z$ .

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Paso 6.1

Establece $z^{2} - 2 z + 4$ igual a $0$ .

$z^{2} - 2 z + 4 = 0$

Paso 6.2

Resuelve $z^{2} - 2 z + 4 = 0$ en $z$ .

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Paso 6.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 6.2.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 2$ y $c = 4$ en la fórmula cuadrática y resuelve $z$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.2.3

Simplifica.

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Paso 6.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.3.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$z = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Paso 6.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$z = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.2.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$z = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.2.3.1.3

Resta $16$ de $4$ .

$z = \frac{2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.2.3.1.4

Reescribe $- 12$ como $- 1 (12)$ .

$z = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.2.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (12)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$z = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.2.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$z = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.2.3.1.7

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Paso 6.2.3.1.7.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$z = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.2.3.1.7.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$z = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.2.3.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$z = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Paso 6.2.3.1.9

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$z = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.2.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$z = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 6.2.3.3

Simplifica $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$z = 1 \pm i \sqrt{3}$

Paso 6.2.4

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$z = 1 + i \sqrt{3}, 1 - i \sqrt{3}$

Paso 7

La solución final comprende todos los valores que hacen $(z + 2) (z^{2} - 2 z + 4) = 0$ verdadera.

$z = - 2, 1 + i \sqrt{3}, 1 - i \sqrt{3}$